Calcule a derivada

y = x \* 5^(x^2)

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é rescrever essa equação

y = x   5 x 2

Temos que

5 x 2 = e ln ⁡ 5 x 2 → e x 2 ln ⁡ 5

Entao

y = x e x 2 ln ⁡ 5  

Temos uma multiplicação de funções e uma função composta. Então saca só que o que vai rolar. Precisamos usar tanto a regra da cadeia quanto a regra do produto.

Vamos dar uma lembrada, abaixo temos a regra da cadeia.

d d x   f ( g x = f ' g x * g ' ( x )

Agora a regra do produto

d d x   f * g = f ' g + f g '

Pronto, agora já estamos habilitados a ir em frente

d y d x =     ( x ) '   e x 2 ln ⁡ 5 +   x e x 2 ln ⁡ 5 '

d y d x =     1   e x 2 ln ⁡ 5 +   x e x 2 ln ⁡ 5 '

Precisamos calcular a derivada do e x 2 ln ⁡ 5 . Então:

d d x   e x 2 ln ⁡ 5 = e x 2 ln ⁡ 5 ⋅ d d x x 2 ln ⁡ 5

= e x 2 ln ⁡ 5 ⋅ ln ⁡ 5 ⋅ 2 x

= 2 x ln ⁡ 5 ⋅ e x 2 ln ⁡ 5

Logo:

d y d x =   e x 2 ln ⁡ 5 + x ⋅ 2 x ln ⁡ 5 ⋅ e x 2 ln ⁡ 5

d y d x =   e x 2 ln ⁡ 5 + 2 x 2 ln ⁡ 5 ⋅ e x 2 ln ⁡ 5

Agora para ficar mais bonita a apresentação podemos voltar com

e x 2 ln ⁡ 5 =   5 x 2

Assim fica :

d y d x =   5 x 2 1 + 2 x 2 ln ⁡ 5

Prontinho, terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução 😊

Resposta

d y d x =   5 x 2 1 + 2 x 2 ln ⁡ 5

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