Enunciado

Determine a equação de uma reta, não vertical, que passa pelo ponto 0 , 4 3   e que seja normal ao gráfico de y = x 3 .

Passo 1

Se queremos uma reta não vertical, o termo que multiplica y não pode ser nulo.

Assim, buscamos uma fera do tipo:

y = a x + n

Se ela passa pelo ponto 0 , 4 3 , podemos substituir na equação:

4 3 = a ⋅ 0 + b

b = 4 3

Assim, a reta que procuramos é y = a x + 4 3

Basta, então, achar o valor de a .

Passo 2

Como queremos a reta normal no ponto x 0 , f x 0 que pertence à função, o produto de f ' x 0 com a deve ser - 1 :

a ⋅ f ' x 0 = - 1

a = - 1 f ' x 0

a = - 1 3 x 0 2

Passo 3

Como x 0 , f x 0 que pertence à função e à reta, temos:

y = a x + 4 3

x 0 3 = a x 0 + 4 3

x 0 3 = - 1 3 x 0 2 x 0 + 4 3

x 0 3 = - 1 3 x 0 + 4 3

3 x 0 3 = - 1 x 0 + 4

3 x 0 3 + 1 x 0 = 4

3 x 0 4 + 1 x 0 = 4

3 x 0 4 + 1 = 4 x 0

3 x 0 4 - 4 x 0 + 1 = 0

x 0 = 1

Assim:

a = - 1 3 x 0 2 = - 1 3 1 2

a = - 1 3

Substituindo em y = a x + 4 3 , temos:

y = - 1 3 x + 4 3

Resposta

y = - 1 3 x + 4 3

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