Calcule a derivada.

s = t \* ln((t^2 - 1) / (t^2 + 1))

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra do produto:

f t g t ' = f ' ( t ) g t + g ' t f t

No nosso caso,

f t = t

g t = ln ⁡ t 2 - 1 t 2 + 1

Então, substituindo na expressão da regra:

t ln ⁡ t 2 - 1 t 2 + 1 ' = t ' ⋅ ln ⁡ t 2 - 1 t 2 + 1 + ln ⁡ t 2 - 1 t 2 + 1 ' ⋅ t

Passo 2

Essas derivadas a gente vai calcular aqui separado. A de t é mais tranquila, que dá 1 , mas a do l n tem o maior carão feio! Para derivar o logaritmo natural, vamos usar a regra da cadeia:

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

Então, pra nossa função:

ln ⁡ t 2 - 1 t 2 + 1 ' = 1 t 2 - 1 t 2 + 1 ⋅ t 2 - 1 t 2 + 1 '

Agora precisamos derivar essa parada aí. Pra isso, vamos ter que usar a regra do quociente!

f t g t ' = f ' t g t - f t g ' t g t 2

Então, na questão:

t 2 - 1 t 2 + 1 ' = t 2 - 1 ' t 2 + 1 - t 2 - 1 t 2 + 1 ' ( t 2 + 1 ) 2

Agora é só polinômio, que é bem moleza:

t 2 - 1 t 2 + 1 ' = 2 t t 2 + 1 - t 2 - 1 2 t ( t 2 + 1 ) 2

Desenvolvendo,

t 2 - 1 t 2 + 1 ' = 2 t 3 + 2 t - 2 t 3 + 2 t t 2 + 1 2 = 4 t t 2 + 1 2

Então essa derivada do l n :

ln ⁡ t 2 - 1 t 2 + 1 ' = 1 t 2 - 1 t 2 + 1 ⋅ 4 t t 2 + 1 2

Ajeitando e simplificando,

ln ⁡ t 2 - 1 t 2 + 1 ' = t 2 + 1 t 2 - 1 ⋅ 4 t t 2 + 1 2 = 4 t t 4 - 1

Passo 3

Agora é só substituir na expressão original!

t ln ⁡ t 2 - 1 t 2 + 1 ' = t ' ⋅ ln ⁡ t 2 - 1 t 2 + 1 + ln ⁡ t 2 - 1 t 2 + 1 ' ⋅ t

t ln ⁡ t 2 - 1 t 2 + 1 ' = 1 ⋅ ln ⁡ t 2 - 1 t 2 + 1 + 4 t t 4 - 1 ⋅ t

Portanto,

s ' = ln ⁡ t 2 - 1 t 2 + 1 + 4 t 2 t 4 - 1

Resposta

s ' = ln ⁡ t 2 - 1 t 2 + 1 + 4 t 2 t 4 - 1

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