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Calcule a derivada segunda.

y = x e - 2 x

Passo 1

Vamos analisar a função, vamos ter então que usar a fórmula da derivada de polinômio e a regra da função exponencial, além da regra da cadeia para achar y ' :

x n ' = n x n - 1

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 2

E vamos ter que aplicar a regra do produto:

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

Temos que:

f x = x

e

g x = e - 2 x

Agora é só aplicar, vamos lá?

y ' = x e - 2 x ' = f ' x g x + g ' x f x = x ' e - 2 x + e - 2 x ' x = x 1 - 1 e - 2 x + e - 2 x - 2 x ' x = x 0 e - 2 x + x e - 2 x - 2 x 1 - 1 = 1 e - 2 x + x e - 2 x - 2 x 0 = e - 2 x - 2 x e - 2 x = e - 2 x 1 - 2 x

Passo 3

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regras, derivando agora y ' :

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

Temos que:

f x = e - 2 x

e

g x = 1 - 2 x

Assim:

y ' ' = y ' ' = e - 2 x 1 - 2 x ' = f ' x g x + g ' x f x = e - 2 x ' 1 - 2 x + 1 - 2 x ' e - 2 x = e - 2 x - 2 x ' 1 - 2 x + 0 - 2 x 1 - 1 e - 2 x = e - 2 x - 2 x 1 - 1 1 - 2 x + - 2 x 0 e - 2 x = e - 2 x - 2 x 0 1 - 2 x + - 2 ⋅ 1 e - 2 x = e - 2 x - 2 ⋅ 1 1 - 2 x - 2 e - 2 x = - 2 e - 2 x 1 - 2 x - 2 e - 2 x = - 2 e - 2 x + 4 x 2 e - 2 x - 2 e - 2 x = - 4 e - 2 x + 4 x 2 e - 2 x

Resposta

y ' ' = - 4 e - 2 x + 4 x 2 e - 2 x

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Nos Exercícios 51-70, determine d y d t . 59. y =   ( t 2 t 3 - 4 t ) ³