Calcule a derivada segunda.

y = e^(-x) \* cos(2x)

Passo 1

Vamos analisar a função, vamos ter então que usar a fórmula da derivada de polinômio, da regra da função exponencial e da função trigonométrica, além da regra da cadeia para achar y ' :

x n ' = n x n - 1

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 2

E vamos ter que aplicar a regra do produto:

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

Temos que:

f x = e - x

e

g x = cos ⁡ 2 x

Agora é só aplicar, vamos lá?

y ' = e - x cos ⁡ 2 x ' = f ' x g x + g ' x f x = e - x ' cos ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x ' e - x = e - x - x ' cos ⁡ 2 x + - sen ⁡ 2 x 2 x ' e - x = e - x - x 1 - 1 cos ⁡ 2 x + - sen ⁡ 2 x 2 x 1 - 1 e - x = e - x cos ⁡ 2 x - x 0 - e - x sen ⁡ 2 x 2 x 0 = e - x cos ⁡ 2 x - 1 - e - x sen ⁡ 2 x 2 ⋅ 1 = - e - x cos ⁡ 2 x - 2 e - x sen ⁡ 2 x = - e - x cos ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ 2 x

Passo 3

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regras, derivando agora y ' :

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

Temos que:

f x = - e - x

e

g x = cos ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ 2 x

Assim:

y ' ' = y ' ' = - e - x cos ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ 2 x ' = f ' x g x + g ' x f x = - e - x ' cos ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ 2 x ' - e - x = - e - x - x ' cos ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ 2 x + - sen ⁡ 2 x 2 x ' + 2 cos ⁡ 2 x 2 x ' - e - x = - e - x - x 1 - 1 cos ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ 2 x + - sen ⁡ 2 x 2 x 1 - 1 + 2 cos ⁡ 2 x 2 x 1 - 1 - e - x = - e - x - x 0 cos ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ 2 x + - sen ⁡ 2 x 2 ⋅ 1 + 2 cos ⁡ 2 x 2 ⋅ 1 - e - x = - e - x - 1 cos ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ 2 x + - 2 sen ⁡ 2 x + 4 cos ⁡ 2 x - e - x = e - x cos ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ 2 x + - 2 sen ⁡ 2 x + 4 cos ⁡ 2 x - e - x = e - x cos ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ 2 x - 4 cos ⁡ 2 x = e - x - 3 cos ⁡ 2 x + 4 sen ⁡ 2 x

Resposta

y ' ' = e - x - 3 cos ⁡ 2 x + 4 sen ⁡ 2 x

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