Enunciado

Calcule a derivada

y = ln sqrt((1 + sen x)/(1 - sen x))

Passo 1

Nessa questão, temos uma bela composição de funções: uma função trigonométrica dentro de uma função raiz dentro de um logaritmo! Pra resolver uma parada dessas, vamos usar a regra da cadeia.

(d y)/(d x) = (d)/(d x) (ln sqrt((1 + sen x)/(1 - sen x)))

Primeiro, vamos derivar o logaritmo. A derivada de l n fica:

(d)/(d x) (ln (f (x))) = (1)/(f (x)) f^' (x)

Então, no nosso caso, vai ficar:

(d y)/(d x) = (1)/(sqrt((1 + sen x)/(1 - sen x))) * (d)/(d x) (sqrt((1 + sen x)/(1 - sen x)))

Beleza, agora vamos derivar essa raiz. Ela é derivada assim:

(d)/(d x) sqrt(f (x)) = (1)/(2 f (x)) f^' (x)

Então, aplicando aqui:

(d y)/(d x) = sqrt((1 - sen x)/(1 + sen x)) * (1)/(2 sqrt((1 + sen x)/(1 - sen x))) * (d)/(d x) ((1 + sen x)/(1 - sen x))

Arrumando:

(d y)/(d x) = sqrt((1 - sen x)/(1 + sen x)) * (1)/(2) sqrt((1 - sen x)/(1 + sen x)) * (d)/(d x) ((1 + sen x)/(1 - sen x))

Juntando os termos iguais:

(d y)/(d x) = (1)/(2) ((1 - sen x)/(1 + sen x)) * (d)/(d x) ((1 + sen x)/(1 - sen x))

Passo 2

Beleza, só falta essa derivada da função trigonométrica. Como ela tem uma fração, vamos usar a regra do quociente!

(d)/(d x) ((1 + sen x)/(1 - sen x)) = (( 1 + s e n x ) ' (1 - sen x) - (1 + sen x) ( 1 - s e n x ) ')/((1 - sen x)^2)

As derivadas que temos que fazer agora são trigonométricas bem simples!

(d)/(d x) ((1 + sen x)/(1 - sen x)) = (cos x (1 - sen x) - (1 + sen x) (- cos x))/((1 - sen x)^2)

Fazendo a distributiva:

(d)/(d x) ((1 + sen x)/(1 - sen x)) = (cos x - sen x cos x + cos x + sen x cos x)/((1 - sen x)^2)

Arrumando:

(d)/(d x) ((1 + sen x)/(1 - sen x)) = (2 cos x)/((1 - sen x)^2)

Passo 3

Agora é só substituir lá na expressão geral!

(d y)/(d x) = (1)/(2) ((1 - sen x)/(1 + sen x)) * (d)/(d x) ((1 + sen x)/(1 - sen x))

Substituindo,

(d y)/(d x) = (1)/(2) ((1 - sen x)/(1 + sen x)) * (2 cos x)/((1 - sen x)^2)

Simplificando,

(d y)/(d x) = (cos x)/((1 + sen x) (1 - sen x))

O termo de baixo é uma diferença de quadrados, que pela relação fundamental vai ficar:

(d y)/(d x) = (c o s x)/(1 - s e n^2 x) = (c o s x)/(cos^2 x)

Portanto,

(d y)/(d x) = sec x

Resposta

(d y)/(d x) = sec x

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