Calcule y'' nos Exercícios 71-78.

75. y = x \* (2x + 1)^4

Passo 1

Para derivarmos y , de ínicio teremos que utilizar a regra do produto, uma vez que há uma multiplicação entre duas funções, certo? A regra do produto nos diz o seguinte:

y ' = u ' . v + u . v '

Nesse caso temos:

u = x

v = ( 2 x + 1 ) 4

Passo 2

Derivando u e v , temos:

u ' = 1

v ' = 4 . 2 x + 1 3 . ( 2 x + 1 ) '

∴ v ' = 8 . ( 2 x + 1 ) ³

Jogando na regra do produto, teremos:

y ' = 1 . ( 2 x + 1 ) 4 + x . 8 . ( 2 x + 1 ) ³

∴ y ' = ( 2 x + 1 ) 4 + 8 x . ( 2 x + 1 ) ³

Passo 3

Sabemos que a derivada de uma soma é igual à soma das derivadas, certo? Naquela segunda derivada ali, também teremos que utilizar a regra do produto, beleza? Mas como já enunciamos acima, vamos fazer de forma mais direta, ok? Se liga!

y ' ' = 4 . 2 x + 1 ³ . 2 x + 1 ' + ( u ' . v + u . v ' )

y ' ' = 8 . 2 x + 1 3 + 8 . 2 x + 1 3 + 8 x . 3 . 2 x + 1 2 . 2 x + 1 '

y ' ' = 8 . 2 x + 1 3 + 8 . 2 x + 1 3 + 48 x . ( 2 x + 1 ) ²

∴ y ' ' = 16 . 2 x + 1 3 + 48 x . ( 2 x + 1 ) ²

Resposta

y ' ' = 16 . 2 x + 1 3 + 48 x . ( 2 x + 1 ) ²

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