Enunciado

Nos Exercícios 23-50, determine as derivadas das funções.

35. y =   x . e - x + e 3 x

Passo 1

Então galeris, para resolvermos essa questão devemos lembrar de algumas coisinhas antes, beleza? A primeira coisa importante é que existe uma regra que diz que a derivada de uma soma é igual a soma das derivadas, o que facilita bastante nossas resoluções. O segundo dado importante é que para resolvermos a derivada do primeiro membro devemos utilizar a regra do produto, certo? A regra é a seguinte:

z = g x . h ( x )

z ' =   g x ' . h x + g x . ( h x ) '

No qual as funções g e h nesse caso são:

g x = x

h x =   e - x

E uma terceira coisa importante é sobre a derivada de uma função exponencial. Uma derivada desse tipo é dada pela regra:

( a f ( x ) ) ' = a f x . l n ⁡ a . ( f ( x ) ) '

Sabendo dessas informações, agora conseguimos resolver a derivada tranquilo. Bora lá!

Passo 2

Primeiro devemos encontrar a derivada do produto x . e - x , certo? Descobrindo g ' primeiro, temos:

g x ' = 1

Agora para descobrirmos h ' , utilizaremos a regra que comentamos acima:

h x ' = e - x . ln ⁡ e . ( - 1 )

∴ h x ' = - e - x

Passo 3

Agora que já temos as informações de g ' e h ' , jogando na regra do produto, teremos o seguinte:

y ' = 1 . e - x - x . e - x + ( e 3 x ) '

Perceba que falta a última derivada ainda, então vamos lá!

Passo 4

Utilizando a regra para derivar uma função exponencial, teremos:

e 3 x ' = e 3 x . ln ⁡ e . 3

∴ e 3 x ' = 3 . e 3 x

Passo 5

Agora que encontramos a última derivada, basta que somemos ela com a que já encontramos.

y ' = 1 . e - x - x . e - x + 3 . e 3 x  

∴ y ' = 3 . e 3 x + e - x -   x . e - x

Resposta

y ' = 3 . e 3 x + e - x -   x . e - x

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