Calcule as integrais nos Exercícios 51-56

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∫ s e n 2 x ⋅ cos ⁡ 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade de senos e cossenos

s e n a ⋅ cos ⁡ b = s e n a + b + s e n ( a - b ) 2

Então podemos reescrever nossa integral assim

∫ s e n 2 x ⋅ cos ⁡ 3 x d x = ∫ s e n 2 x + 3 x + s e n ( 2 x - 3 x ) 2 d x = ∫ s e n 5 x + s e n ( - x ) 2 d x

Passo 3

Para resolver a integral vamos separá-la em duas

∫ s e n 5 x + s e n ( - x ) 2 d x = 1 2 ∫ s e n 5 x + 1 2 ∫ s e n - x

Passo 4

Podemos resolver ambas as integrais usando o mesmo método.

Primeiro fazemos uma substituição de variável, onde u é o argumento dentro do seno.

Assim segue

1 2 ∫ s e n 5 x + 1 2 ∫ s e n - x = 1 2 - 1 5 cos ⁡ x + cos ⁡ x + C

Resposta

1 2 cos ⁡ x - 1 5 cos ⁡ x + C

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