Calcule as integrais nos Exercícios 51-56

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∫ cos ⁡ 3 x cos ⁡ 4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida.

Passo 2

Para começar vamos relembrar uma propriedade dos cossenos

cos ⁡ a cos ⁡ b = cos ⁡ a + b + c o s ⁡ ( a - b ) 2

Assim a gente reescreve a integral desse jeito

∫ cos ⁡ 3 x cos ⁡ 4 x d x = ∫ cos ⁡ 3 x + 4 x + c o s ⁡ ( 3 x - 4 x ) 2 d x

Passo 3

Agora a gente pode dividir isso em duas integrais

∫ cos ⁡ 3 x + 4 x + c o s ⁡ ( 3 x - 4 x ) 2 d x = 1 2 ∫ cos ⁡ 7 x + 1 2 ∫ c o s ⁡ ( x )

Repare que

cos ⁡ x = c o s ⁡ ( - x )

Passo 4

As duas integrais podem ser calculadas usando o mesmo método.

Primeiro fazemos uma substituição, chamamos o argumento do cosseno de u , depois basta lembrar que a integral de c o s ⁡ ( x ) é s e n ( x ) .

A integral vai ficar assim

1 2 ∫ cos ⁡ 7 x + 1 2 ∫ c o s ⁡ ( x ) = 1 2 ⋅ s e n 7 x 7 + 1 2 s e n x + C

Resposta

1 2 ⋅ s e n 7 x 7 + 1 2 s e n x + C

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