Enunciado

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Calcule a integral,

∫ 0 a     d x a 2 + x 2 3 2 ,   a > 0

Passo 1

Vamos fazer a seguinte substituição

x =   a   t g   θ ⇒ d x = a sec 2 ⁡ θ

Mudando os limites de integração,

x = 0 ⇒ θ = 0  

E,

x = a ⇒ θ = π 4

Substituindo na integral,

∫ 0 a     d x a 2 + x 2 3 2 = ∫ 0 π 4 a sec 2 ⁡ θ d θ   a 2 1 + t g 2 θ 3 2

Ajeitando as contas,

∫ 0 π 4 a sec 2 ⁡ θ d θ   a 2 1 + t g 2 θ 3 2 =   ∫ 0 π 4 a sec 2 ⁡ θ d θ a 3 sec 3 ⁡ θ = 1 a 2 ∫ 0 π 4 cos ⁡ θ   d θ

Pela tabela,

1 a 2 ∫ 0 π 4 cos ⁡ θ   d θ = 1 a 2   s e n   θ 0 π 4

Aplicando os limites de integração,

1 a 2   s e n   θ 0 π 4 = 1 a 2 2 2 - 0 = 1 2   a 2

Resposta

∫ 0 a     d x a 2 + x 2 3 2 = 1 2   a 2

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