Calcule a integral

∫ 0 a     d x a 2 + x 2 3 2 ,   a > 0

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos calcular a integral

∫ 0 a     d x a 2 + x 2 3 2

Para a > 0 ...

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Para simplificar nossa vida, podemos aplicar o método de substituição.

Dessa forma substituímos a variável de integração uma função que nos possibilite simplificar o cálculo da integral...

Olhando para a integral, como você acha que podemos substituir x ? 🤔

A tabela abaixo irá te ajudar:

Passo 2

Vamos fazer a seguinte substituição

x =   a   t g   θ

d x = a sec 2 ⁡ θ

Mudando os limites de integração,

x = 0 ⇒ θ = 0  

x = a ⇒ θ = π 4

Substituindo na integral,

∫ 0 a     d x a 2 + x 2 3 2 = ∫ 0 π 4 a sec 2 ⁡ θ d θ   a 2 1 + t g 2 θ 3 2

Ajeitando as contas,

∫ 0 π 4 a sec 2 ⁡ θ d θ   a 2 1 + t g 2 θ 3 2

=   ∫ 0 π 4 a sec 2 ⁡ θ d θ a 3 sec 3 ⁡ θ

= 1 a 2 ∫ 0 π 4 cos ⁡ θ   d θ

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

1 a 2 ∫ 0 π 4 cos ⁡ θ   d θ = 1 a 2   s e n   θ 0 π 4

Aplicando os limites de integração,

1 a 2   s e n   θ 0 π 4 = 1 a 2 2 2 - 0

Portanto, chegamos em

∫ 0 a     d x a 2 + x 2 3 2 = 1 2   a 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ 0 a     d x a 2 + x 2 3 2 = 1 2   a 2

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