Calcule a integral

∫ 1 2 x 2 x 2 d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

∫ 1 2 x 2 x 2 d x

Esta é uma integral definida. Vamos resolver inicialmente a integral indefinida associada a ela. Isto é,

∫ x 2 x 2 d x

Façamos primeiramente uma mudança de variável. Se chamarmos u = x 2 , teremos d u = 2 x   d x . Portanto, fazendo esta substituição na integral, obtemos:

∫ x 2 x 2 d x = ∫ 2 u 2   d u = 1 2 ⋅ ∫ 2 u   d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Esta integral que obtemos é equivalente a seguinte integral, à qual já foi resolvida no livro.

∫ a u   d u = a u ln ⁡ a + k

E, para o nosso caso, temos que a = 2 . Portanto, a solução da nossa integral é:

1 2 ⋅ ∫ 2 u   d u = 2 u   2 ln ⁡ 2 + k

Voltando para a variável inicial, temos:

2 u   2 ln ⁡ 2 + k = 2 x 2   2 ln ⁡ 2 + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Passo 4

Vamos agora resolver a integral definida através do teorema fundamental do cálculo. Portanto, temos:

∫ 1 2 x 2 x 2 d x = 2 x 2   2 ln ⁡ 2 1 2 = 1 2 ln ⁡ 2 ⋅ 2 x 2 1 2

∫ 1 2 x 2 x 2 d x = 1 2 ln ⁡ 2 ⋅ ( 2 2 - 2 1 )

∫ 1 2 x 2 x 2 d x = 1 2 ln ⁡ 2 ⋅ 4 - 2 = 1 ln ⁡ 2

Resposta

∫ 1 2 x 2 x 2 d x = 1 ln ⁡ 2

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