Calcule a integral.

∫ ln ⁡ x 3     d x

Passo 1

Opa! Nesse exercício iremos resolver a seguinte integral:

∫ ln ⁡ x 3     d x

Não é uma integral tão banal de resolver, então vamos precisar usar um método de integração! Pra a gente usar substituição simples teríamos que ter selecionar um u e a derivada do u , d u também deve ser encontrada na expressão!

Isso não acontece aqui, então vamos seguir com integração por partes!

Dica: Sempre tente resolver a integral pelo método mais simples!

Para integrar por partes temos:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Para escolher o u usamos a seguinte ordem de prioridade:

Na nossa integral a gente tem uma parte algébrica e uma logarítmica. Pela ordem de prioridade teremos:

u = ln ⁡ x 3

d v = d x

Passo 2

Agora calculamos d u utilizando a regra da cadeia, onde:

z = x 3 = x 1 / 3

d u d x = d ln ⁡ x 3 d x = d x 1 / 3 d x × ln ⁡ z d z

d u d x = 1 3 x 1 3 - 1 × 1 z

d u d x = 1 3 x 1 3 - 1 × 1 x 1 / 3

d u d x = 1 3 x - 2 3 × 1 x 1 / 3 = x - 2 3 x - 1 3   3 = x - 1 3 = 1 3 x

Agora v :

∫ d v = ∫ d x

v = x

Passo 3

Montamos a integral por partes:

∫ ln ⁡ x 3     d x = ln ⁡ x 3 x - ∫ x 1 3 x d x  

∫ ln ⁡ x 3     d x = ln ⁡ x 3 x - ∫ 1 3 d x  

Agora a gente calcula:

∫ 1 3 d x   = 1 3 x  

Juntando tudo temos:

∫ ln ⁡ x 3     d x = ln ⁡ x 3 x - x 3 + C

Prontinho!

Resposta

∫ ln ⁡ x 3     d x = ln ⁡ x 3 x - x 3 + C

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