Calcule a integral.

∫ t g 2 x   d x

Passo 1

Queremos calcular a primitiva de t g 2 x . Eu sei que você já deve estar tentando usar senos e cossenos, mas não precisa de tudo isso, é mais simples do que parece. Vamos lembrar que 1 + t g 2 x = sec 2 ⁡ x . Assim, temos que t g 2 x = sec 2 ⁡ x - 1 . Substituindo isso na integral:

∫ t g 2 x   d x = ∫ sec 2 ⁡ x - 1   d x

Passo 2

Sabemos que a derivada da tangente é secante ao quadrado, assim

∫ sec 2 ⁡ x   d x = t g   x

Desta forma,

∫ t g 2 x   d x = ∫ sec 2 ⁡ x   d x - ∫ d x = t g   x - x + C

Resposta

t g   x - x + C

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