Calcule a integral abaixo:

∫ t g - 1 x 2 1 + x 2   d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ t g - 1 x 2 1 + x 2   d x u = t g - 1 ( x )                   d u = 1 1 + x 2 d x  

Passo 2

Aplicando a substituição temos:

∫ u 2   d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim:

∫ u 2   d u     = u 3 3 + C  

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

t g - 1 x 3 3 + C

Resposta

t g - 1 x 3 3 + C

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