Calcule a integral abaixo:

48 –

∫ 1 x x + 9 d x

Passo 1

∫ 1 x x + 9 d x

Primeiramente urilizaremos o método de substituição udu:

u 2 = x + 9 ; u =   x + 9 ; x = u 2 - 9

d u = 1 2 x + 9

d x = 1 d u = 1 1 2 x + 9 = 2 x + 9

Substituindo:

∫ 1 x x + 9 ⋅ 2 x + 9   d u =   ∫ 2 x d u = ∫ 2 u 2 - 9 d u = 2 ∫ 1 u 2 - 9 d u  

Realizando pelo método de frações parciais:

1 u 2 - 9 = 1 ( u + 3 ) ( u - 3 )

1 ( u + 3 ) ( u - 3 ) = A u + 3 + B u - 3

Tirando mmc:

1 u + 3 u - 3 = A ( u - 3 ) + B ( u + 3 ) ( u + 3 ) ( u - 3 )

Simplificando os denominadores temos:

1 = A ( u - 3 ) + B ( u + 3 )

Aplicando a distributiva:

1 = A u - 3 A + B u + 3 B

Colocando em evidência:

1 = A + B u - 3 A + 3 B

A + B = 0

- 3 A + 3 B = 1

Assim:

3 A = 3 B - 1 ; A = 3 B - 1 3  

Substituindo:

3 B - 1 3 + B = 0 ; 3 B 3 - 1 3 + B = 0 ; B + B - 1 3 = 0 ; 2 B - 1 3 = 0 ; 2 B = 1 3 ; B = 1 6

A + 1 6 = 0 ; A = - 1 6

SubstItuindo:

1 ( u + 3 ) ( u - 3 ) = - 1 6 ( u + 3 ) + 1 3 ( u - 3 )

Inserindo na integral:

2 ⋅ 1 6 ∫ - 1 u + 3 + 1 u - 3 d u = 1 3 - ∫ 1 u + 3 d u +   ∫ 1 u - 3 d u

Passo 2

Organizando a integral:

Realizando a primeira integral:

- 1 3 ∫ 1 u + 3 d u =   - 1 3 ln ⁡ u + 3

Resolvendo a segunda integral:

1 3 ∫ 1 u - 3 d u = 1 3 ln ⁡ u - 3

Passo 3

Juntando as integrais:

- 1 3 ln ⁡ u + 3 + 1 3 ln ⁡ u - 3 + C

Substituindo, usando u = x + 9

1 3 ln ⁡ x + 9 - 3 x + 9 + 3 + C

Resposta

1 3 ln ⁡ x + 9 - 3 x + 9 + 3 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados