Calcule a integral.

∫ cos 2 ⁡ x   t g 3 x   d x

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos tentar escrever a integral usando apenas as funções seno e cosseno. Lembrando que t g   x = s e n   x / cos ⁡ x , temos que

∫ cos 2 ⁡ x   t g 3 x   d x = ∫ cos 2 ⁡ x   s e n 3 x cos 3 ⁡ x   d x = ∫ s e n 3 x cos ⁡ x   d x = ∫ ( 1 - cos 2 ⁡ x ) cos ⁡ x   s e n   x   d x

Note que como o expoente do seno era ímpar, pude separá-lo na integral. Além disso, como a derivada do cosseno é menos seno, vamos fazer a mudança de variável u = cos ⁡ x com d u = - s e n   x   d x .

Passo 2

Fazendo a mudança de variável:

∫ cos 2 ⁡ x   t g 3 x   d x = - ∫ 1 - u 2 u   d u = ∫ u - 1 u   d u = u 2 2 - ln ⁡ u + C

Passo 3

Voltando para a variável original:

∫ cos 2 ⁡ x   t g 3 x   d x = 1 2 cos 2 ⁡ x - ln ⁡ cos ⁡ x + C

Resposta

1 2 cos 2 ⁡ x - ln ⁡ cos ⁡ x + C

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