Calcule a integral definida

d d x ∫ - x x   1 3 + t ²   d t  

Passo 1

Propriedade de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   a x n =   x a ( n + 1 ) n + 1     ,   a = c o n s t a n t e

d d x ∫ a f ( x ) h t d t =     h f ( x ) .   d d x f x - a

Passo 2

Essa aqui já precisamos tomar cuidado, ela é pegadinha. Então vamos com calma.

Lembra que podemos separar o intervalo de integração em quantas partes quisermos?

Então o intervalo [x , -x ] vou fazer [x, 0 ] e [0 , -x]

d d x ∫ - x x   1 3 + t 2   d t  

= d d x ∫ - x 0   1 3 + t 2   d t   + d d x   ∫ 0 x   1 3 + t 2   d t  

Vamos lembrar que essa é uma função par. Então

d d x ∫ - x 0   1 3 + t 2   d t   =   d d x   ∫ 0 x   1 3 + t 2   d t    

Então podemos fazer apenas uma integral e multiplicar por 2.

=   2 d d x ∫ 0 x   1 3 + t 2   d t   =   2   .     1 3 + x 2   .     d d x   x - 0

=   2 3 + x 2

Resposta

d d x ∫ - x x   1 3 + t ²   d t =     2 3 + x 2

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