Calcule a integral definida

∫ 0 1 x + 1 1 + x 2 d x

Passo 1

Para fazer a integral definida primeiro temos que achar a indefinida, e fazer o teorema da variação total depois

∫ x + 1 1 + x 2 d x

Vamos separar a integral

∫ x + 1 1 + x 2 d x = ∫ x 1 + x 2 + 1 1 + x 2 d x

Por propriedades de integral:

∫ x 1 + x 2 + 1 1 + x 2 d x = ∫ x 1 + x 2 d x + ∫ 1 1 + x 2 d x

Vamos começar resolvendo a primeira integral:

Passo 2

∫ x 1 + x 2 d x

Aquele x 2 + 1 está pentelhando a vida, vamos usar substituição simples para resolver:

a = x 2 + 1 → d a = 2 x d x → d a 2 = x d x

Vamos ter:

∫ x d x 1 + x 2 = ∫ d a 2 a = ∫ d a 2 a = 1 2 ∫ d a a

Passo 3

Vamos para a integral em a

1 2 ∫ d a a = 1 2 ln ⁡ a + C

Voltando para x :

1 2 ln ⁡ a + C = 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + C

∫ x 1 + x 2 d x = 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + C

Passo 4

A outra integral agora:

∫ 1 1 + x 2 d x

Essa é a integral de tg - 1 ⁡  

∫ 1 1 + x 2 d x = tg - 1 ⁡ x + C

A nossa integral toda fica:

∫ x + 1 1 + x 2 d x = ∫ x 1 + x 2 d x + ∫ 1 1 + x 2 d x = 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + tg - 1 ⁡ x + C

Passo 5

Agora que achamos a integral indefinida, vamos para a definida:

∫ 0 1 x + 1 1 + x 2 d x = 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + tg - 1 ⁡ x 0 3 =

1 2 ln ⁡ 1 + 1 2 + tg - 1 ⁡ 1 - 1 2 ln ⁡ 1 + 0 2 + tg - 1 ⁡ 0 = 1 2 ln ⁡ 2 + tg - 1 ⁡ 1 - tg - 1 ⁡ 0

Vamos ver essas tg - 1 ⁡  

Temos:

tg - 1 ⁡ 1 = a ⟷ tg ⁡ a = 1

O ângulo que tem tangente igual a 1 é π 4

tg - 1 ⁡ 0 = a ⟷ tg ⁡ a = 0

O ângulo que tem tangente igual a 0 é 0

∫ 0 1 x + 1 1 + x 2 d x = 1 2 ln ⁡ 2 + π 4

Resposta

1 2 ln ⁡ 2 + π 4

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