Calcule a integral definida:

∫ 1 2 2 d x 2 x 2 x + 9

Passo 1

Pessoal, podemos resolver essa integral definida de duas formas, resolvendo a indefinida e no final a definida, ou ir resolvendo no meio do caminho trocando os limites de integração. Vamos resolver a indefinida e depois a definida, ok?

Para resolver essa integral, vamos começar fazendo a substituição 2 x = u , então 2 2 2 x d x = d u →     1 2 x d x = d u .

∫ d x 2 x 2 x + 9 = ∫ d u u + 9

Passo 2

Para resolver essa integral, vamos utilizar ∫ 1 x ± a d x = ln ⁡ x ± a + C . Sendo assim,

∫ d x 2 x 2 x + 9 = ∫ d u u + 9 = ln ⁡ u + 9 + C = ln ⁡ 2 x + 9 + C

Passo 3

Agora vamos resolver a definida. Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

∫ 1 2 2 d x 2 x 2 x + 9 = ln ⁡ 2 x + 9 1 2 2 = ln ⁡ 4 + 9 - ln ⁡ 1 + 9

∫ 1 2 2 d x 2 x 2 x + 9 = ln ⁡ 11 - ln ⁡ 10 = ln ⁡ 11 10

Resposta

∫ 1 2 2 d x 2 x 2 x + 9 = ln ⁡ 11 10

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