Calcule a integral definida abaixo:

∫ 1 8 2 3 x - 8 x 2 d x

Passo 1

Primeiramente vamos aplicar a propriedade da soma e da diferença. Ela nos diz que quando temos duas funções dentro da integral sendo somadas ou subtraídas podemos separa-las em outra integrais, preservando o mesmo limite de integração. De forma matemática temos:

∫ a b ( f x ± g ( x ) )   d x =   ∫ a b f x d x ±   ∫ a b g x d x

Assim, temos que :

∫ 1 8 2 3 x - 8 x 2 d x =   ∫ 1 8 2 3 x d x -   ∫ 1 8 8 x 2 d x

Passo 2

Agora integramos o polinômio e retiramos a constante:

=   ∫ 1 8 2 3 x d x -   ∫ 1 8 8 x 2 d x = 2 3 ∫ 1 8 1 x d x - 8 ∫ 1 8 x - 2 d x

Lembre-se que integração polinomial é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

E que:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Assim:

2 3 ∫ 1 8 1 x d x - 8 ∫ 1 8 x - 2 d x = 2 3 ln ⁡ | x | 8 1 - 8 - 1 x 8 1

Passo 3

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

2 3 ln ⁡ | x | 8 1 - 8 - 1 x 8 1 = 2 3   ln ⁡ 8 - ln ⁡ 1 - 8 - 1 8 - - 1 = 2 3 ( ln ⁡ 8 ) - 7 =

= 2 3 ( ln ⁡ 2 3 ) - 7 = 2 3 × 3 ln ⁡ 2 - 7 = 2 ln ⁡ 2 - 7

Lembre-se que:

ln ⁡ ( x k ) = k ln ⁡ x

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ln ⁡ 8 = ln ⁡ 2 3 = 3 ln ⁡ 2

Resposta

2 ln ⁡ 2 - 7

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