Calcule a integral definida abaixo:

∫ 0 ln ⁡ 9 e θ e θ - 1 1 2   d θ

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ 0 ln ⁡ 9 e θ e θ - 1 1 2   d θ

u = e θ - 1   d u = e θ d θ  

Passo 2

Aplicando a substituição temos:

∫ 0 ln ⁡ 9 e θ e θ - 1 1 2   d θ =   ∫ 0 ln ⁡ 9 u 1 2   d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim:

∫ 0 ln ⁡ 9 u 1 2   d u = u 3 2 3 2 ln ⁡ 9 0 = 2 3   ( u 3 2 ) ⁡ ln ⁡ 9 0  

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

2 3   ( u 3 2 ) ⁡ ln ⁡ 9 0   = 2 3 e θ - 1 ln ⁡ 9 0

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

2 3 e θ - 1 ln ⁡ 9 0 = 2 3 e ln ⁡ 9   - 1 - e 0 - 1 = 2 3 8 = 16 3

Resposta

16 3

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