Calcule a integral definida

∫ 0 π ( sen ⁡ x - 2 ) ²   d x

usando os resultados:

∫ 0 π sen ⁡ x d x = 2 ∫ 0 π cos ⁡ x   d x = 0 ∫ 0 π sen 2 ⁡ x   d x = 1 2 π

Passo 1

Queremos colocar a integral do problema em termos de ∫ 0 π sen ⁡ x d x , ∫ 0 π cos ⁡ x   d x e/ou ∫ 0 π sen 2 ⁡ x   d x , pra substituirmos pelos valores dados pelo enunciado. Porém, não conseguimos substituir do jeito que a integral está, precisamos primeiro resolver o quadrado e depois aplicar as propriedades de integral.

Passo 2

O primeiro a se fazer é resolver o quadrado:

∫ 0 π ( sen ⁡ x - 2 ) ² d x =   ∫ 0 π ( sen 2 ⁡ x - 4 sen ⁡ x + 4 )   d x

Agora temos a integral em termos de sen 2 ⁡ x e sen ⁡ x , então podemos calculá-la com os dados do problema.

Passo 3

Usando as propriedades de integral, podemos separá-la em três partes:

∫ 0 π ( sen 2 ⁡ x - 4 sen ⁡ x + 4 )   d x =   ∫ 0 π sen 2 ⁡ x   d x - ∫ 0 π 4 sen ⁡ x   d x + ∫ 0 π 4 d x

Agora, tirando as constantes de dentro das integrais:

∫ 0 π sen 2 ⁡ x   d x - ∫ 0 π 4 sen ⁡ x   d x + ∫ 0 π 4 d x =   ∫ 0 π sen 2 ⁡ x   d x - 4 ∫ 0 π sen ⁡ x   d x + 4 ∫ 0 π d x

Agora que já temos a integral em termos de ∫ 0 π sen 2 ⁡ x   d x e ∫ 0 π sen ⁡ x   d x , basta resolver o resto por substituição direta dos dados do problema.

Passo 4

Usando os dados do problema e substituindo, chegamos no resultado final

∫ 0 π sen 2 ⁡ x   d x - 4 ∫ 0 π sen ⁡ x   d x + 4 ∫ 0 π d x = 1 2 π - 4 ⋅ 2 + 4 π - 0

1 2 π + 4 π   - 8   =   9 2 π - 8

Resposta

∫ 0 π ( sen ⁡ x - 2 ) ²   d x   =   9 2 π - 8

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