Calcule a integral indefinida.

∫ x + 1 + 1 x + 1 - 1   d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral. Para simplificar bastante a integral, devemos eliminar a raiz do denominador, então vamos multiplicar o integrando, no numerador e no denominador, por x + 1 + 1 :

x + 1 + 1 x + 1 - 1 = x + 1 + 1 x + 1 - 1 ⋅ x + 1 + 1 x + 1 + 1 = x + 1 + 1 2 x + 1 - 1

Assim,

x + 1 + 1 x + 1 - 1 = x + 1 + 2 x + 1 + 1 x = x + 2 + 2 x + 1 x

Desta forma,

I = ∫ x + 1 + 1 x + 1 - 1   d x = ∫ 1 + 2 x + 2 x + 1 x   d x

Logo,

I = x + 2 ln ⁡ x + 2 ∫ x + 1 x   d x

Podemos escrever

I = x + 2 ln ⁡ x + I 1 ,     o n d e             I 1 = 2 ∫ x + 1 x   d x

Passo 2

Para calcular I 1 , vamos fazer a substituição t = x + 1 . Assim, x = t 2 - 1 e

d x = 2   t   d t

Portanto

I 1 = 2 ∫ t t 2 - 1   2 t   d t = 4 ∫ t 2 t 2 - 1   d t

Mas note que t 2 = t 2 - 1 + 1 , de modo que

t 2 t 2 - 1 = t 2 - 1 + 1 t 2 - 1 = 1 - 1 t 2 - 1 = 1 - 1 ( t + 1 ) ( t - 1 )

Usando a técnica das frações parciais:

1 ( t + 1 ) ( t - 1 ) = A t - 1 + B t + 1 = A t + A + B t - B ( t + 1 ) ( t - 1 )

Assim, A + B = 0 ⇒ A = - B e A - B = 1 ⇒ 2 A = 1 . Logo

A = - B = 1 2

Portanto,

t 2 t 2 - 1 = 1 - 1 2 ⋅ 1 t - 1 + 1 2 ⋅ 1 t + 1

Logo,

I 1 = ∫ 1 - 1 2 ⋅ 1 t - 1 + 1 2 ⋅ 1 t + 1   d t

Passo 3

Calculando as integrais:

I 1 = t - 1 2 ln ⁡ t - 1 + 1 2 ln ⁡ t + 1 = t + ln ⁡ t + 1 t - 1

Voltando a variável x :

I 1 = x + 1 + ln ⁡ x + 1 + 1 x + 1 - 1

Por fim,

I = x + 2 ln ⁡ x + I 1 = x + 2 ln ⁡ x + x + 1 + ln ⁡ x + 1 + 1 x + 1 - 1 + C

Resposta

x + 2 ln ⁡ x + x + 1 + ln ⁡ x + 1 + 1 x + 1 - 1 + C

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