Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome C = 0 ).

∫ s e n 3 x cos ⁡ x   d x

Passo 1

A questão pede para você calcular uma primitiva para função e em seguida fazer um gráfico dela para comparar com a própria função. No cálculo da integral, vamos precisar fazer uma substituição.

Aqui a substituição é bem imedita: como a derivada do seno é cosseno, temos que u = s e n   x , de modo que d u = cos ⁡ x   d x .

Passo 2

Assim,

∫ s e n 3 x cos ⁡ x   d x = ∫ u 3 d u = u 4 4 + C

Voltando para a variável x :

∫ s e n 3 x cos ⁡ x   d x = 1 4 s e n 4 x + C

Passo 3

Tomando C = 0 , em vermelho fazemos o gráfico da função e em azul o de sua primitiva:

Observe que quando a curva em vermelho se anula, sua primitiva em azul tem tangente horizontal (derivada zero). Além disso, o sinal da curva vermelha comanda o crescimento da curva azul. Isso significa que nossa resposta para a primitiva da função é bastante razoável.

Resposta

1 4 s e n 4 x + C

Exercícios de Livros Relacionados

Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcular a área da região limitada por y = tg 3 ⁡ x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x
Calcule a integral. ∫ s e n 6 π x   d x