Calcule a integral indefinida.

∫ s e n   θ   s e n   2 θ   d θ

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida. Para resolver essa integral vamos usar um pouco de trigonometria. Você deve lembrar daquele belo poema: “Minha terra tem palmeiras, onde canta o sabiá”... Vamos precisar de algumas daquelas fórmulas:

cos ⁡ ( a + b ) = cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n   a   s e n   b

cos ⁡ ( a - b ) = cos ⁡ a cos ⁡ b + s e n   a   s e n   b

Somando as equações:

cos ⁡ a + b + cos ⁡ a - b = 2 cos ⁡ a cos ⁡ b

Assim,

cos ⁡ a cos ⁡ b = cos ⁡ a + b + cos ⁡ a - b 2

Fazendo a = 2 θ e b = θ :

cos ⁡ θ cos ⁡ 2 θ = cos ⁡ 3 θ + cos ⁡ θ 2

Assim,

I = ∫ s e n   θ   s e n   2 θ   d θ = 1 2 ∫ cos ⁡ 3 θ + cos ⁡ θ   d θ

Passo 2

Efetuando a integração:

I = 1 2 1 3 s e n   3 θ + s e n   θ + C

Logo,

I = 1 6 s e n   3 θ + 1 2 s e n   θ + C

Resposta

1 6 s e n   3 θ + 1 2 s e n   θ + C

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