Calcule a integral indefinida.

∫ sec ⁡ 3 x + c o s s e c   3 x 2   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida. Vamos precisar lembrar várias integrais trigonométricas...

Mas antes disso, vamos mudar a variável fazendo t = 3 x ⇒ d x = d t / 3 :

I = ∫ sec ⁡ 3 x + c o s s e c   3 x 2   d x = 1 3 ∫ sec ⁡ t + c o s s e c   t 2   d t

Desenvolvendo o quadrado do integrando:

I = 1 3 ∫ sec 2 ⁡ t + 2 sec ⁡ t   c o s s e c   t + c o s s e c 2 t   d t

Passo 2

Sabemos que

tan ⁡ t ' = sec 2 ⁡ t                 e                   c o t a n   t ' = - c o s s e c 2 t

Assim,

∫ sec 2 ⁡ t   d t = tan ⁡ t           e               ∫ c o s s e c 2 t   d t = - c o t a n   t

Portanto,

I = 1 3 tan ⁡ t - 1 3 c o t a n   t + 2 3 ∫ sec ⁡ t   c o s s e c   t   d t

Passo 3

Para calcular a integral que falta, vamos escrever tudo em função de senos e cossenos:

∫ sec ⁡ t   c o s s e c   t   d t = ∫ 1 cos ⁡ t ⋅ 1 s e n   t   d t

Multiplicando em cima e em baixo por cosseno:

∫ cos ⁡ t cos 2 ⁡ t   s e n   t   d t = ∫ cos ⁡ t 1 - s e n 2 t   s e n   t   d t

Fazendo u = s e n   t , temos que d u = cos ⁡ t   d t :

∫ cos ⁡ t 1 - s e n 2 t   s e n   t   d t = ∫ 1 1 - u 2 u   d u

Essa integral é resolvida por frações parciais:

1 1 - u 2 u = - 1 u u - 1 u + 1 = A u + B u - 1 + C u + 1 = A u 2 - 1 + B u u + 1 + C u u - 1 u ( u - 1 ) ( u + 1 )

Assim, temos que

A + B + C = 0 B - C = 0 - A = - 1

Assim, A = 1 , B = C ⇒ 1 + 2 B = 0 ⇒ B = C = - 1 / 2 . Portanto,

∫ sec ⁡ t   c o s s e c   t   d t = ∫ 1 u - 1 2 ⋅ 1 u + 1 - 1 2 ⋅ 1 u - 1   d u = ln ⁡ u - 1 2 ln ⁡ | u 2 - 1 |

Voltando para variável t :

∫ sec ⁡ t   c o s s e c   t   d t = ln ⁡ s e n   t - 1 2 ln ⁡ | s e n 2 t - 1 |

Mas s e n 2 t - 1 = | 1 - s e n 2 t | e 1 2 ln ⁡ 1 - s e n 2 t = ln ⁡ 1 - s e n 2 t = ln ⁡ cos 2 ⁡ t = ln ⁡ cos ⁡ t . Assim,

∫ sec ⁡ t   c o s s e c   t   d t = ln ⁡ | s e n   t | - ln ⁡ cos ⁡ t = ln ⁡ s e n   t cos ⁡ t = ln ⁡ tan ⁡ t

Passo 4

Finalmente podemos voltar para o problema original:

I = 1 3 tan ⁡ t - 1 3 c o t a n   t + 2 3 ∫ sec ⁡ t   c o s s e c   t   d t

Logo,

I = 1 3 tan ⁡ t - 1 3 c o t a n   t + 2 3 ln ⁡ | tan ⁡ t |

Lembrando que t = 3 x :

I = 1 3 tan ⁡ 3 x - 1 3 c o t a n   3 x + 2 3 ln ⁡ tan ⁡ t + C

Resposta

1 3 tan ⁡ 3 x - 1 3 c o t a n   3 x + 2 3 ln ⁡ tan ⁡ t + C

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