Enunciado

Calcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green.

∮ C y d x - x d y

C é o círculo com centro na origem e raio 1.

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos ver o que a questão quer.

Na letra a), ele quer que calculemos a integral de linha

∮ C y d x - x d y

Usando a definição, onde C é a linha de um círculo com centro na origem e raio 1. Ou seja, C   é

x 2 + y 2 = 1

Na letra b), teremos que utilizar o Teorema de Green

∫ C P d x + Q d y = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Que diz que podemos transformar uma integral de linha em uma integral dupla utilizando a relação acima.

Onde, na integral de linha P é tudo que está ao lado de d x , Q é tudo que está ao lado de d y e C é o contorno da curva. Nesse caso a circunferência!

E na integral dupla que vamos fazer, D é o interior da curva que precisa estar orientada positivamente que nessa questão é o círculo!

∂ Q ∂ x

É a derivada parcial de Q em relação à x ,

∂ P ∂ y

É a derivada parcial de P em relação à y e

d A = d x d y

E por que faríamos isso?

Bem, essa integral de linha não é muito complicada de resolver, mas existem outras que são quase impossíveis de resolver pela definição. Nesses casos, o teorema facilita muito nossa vida.

Portanto, como essa resolução é da letra a)

Vamos resolver a integral de linha primeiro parametrizando a curva C e depois calculando a integral.

Show?

Passo 2

Precisamos parametrizar a nossa curva. Como ela é uma circunferência de raio 1 e centrada na origem

x 2 + y 2 = 1

sendo:

x = r cos ⁡ t

y = r sen ⁡ t

Ora, o nosso raio r é 1 , então:

x = cos ⁡ t

y = sen ⁡ t

Assim, a nossa curva fica parametrizada como:

r t = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,     0 ≤ t ≤ 2 π

E

d x =   - sen ⁡ t d t

d y = cos ⁡ t d t

O t varia de 0 até 2 π , pois ele varre toda a nossa circunferência. Ok?

Passo 3

Agora voltando para a nossa integral

∮ C y d x - x d y

Ela se transforma em:

∮ C y d x - x d y = ∮ C y d x - ∮ C x d y

Substituindo os valores:

∮ C y d x - ∮ C x d y = ∫ 0 2 π sen ⁡ t - sen ⁡ t d t - ∫ 0 2 π cos ⁡ t ⋅ cos ⁡ t d t

∫ 0 2 π - sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t d t = ∫ 0 2 π - d t = - 2 π

Resposta

∮ C y d x - x d y = - 2 π

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