Enunciado

Calcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green.

∮ C y d x - x d y

C é o círculo com centro na origem e raio 1.

Passo 1

Precisamos resolver esta integral por dois métodos diferentes e assim chegar ao mesmo valor, comprovando a eficácia do Teorema de Green.

Para resolvermos diretamente, precisamos primeiro parametrizar a curva para em sim podermos resolver a integral como já havíamos feito anteriormente.

Já para resolvermos através do Teorema de Green, basta lembrarmos que o Teorema nos diz que:

∫ C P d x + Q d y = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Vamos as contas então!

Passo 2

Precisamos parametrizar a nossa curva. Como ela é uma circunferência de raio 1 e centrada na origem, temos então:

r t = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,     0 ≤ t ≤ 2 π

Portanto, nossa integral se transforma em:

∮ C y d x - x d y = ∫ 0 2 π sen ⁡ t ⋅ - sen ⁡ t d t - ∫ 0 2 π cos ⁡ t ⋅ cos ⁡ t d t

∫ 0 2 π - sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t d t = ∫ 0 2 π - d t = - 2 π

Resposta

∮ C y d x - x d y = - 2 π

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