Enunciado

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x ⋅ e y ⋅ d x C é o arco da curva x = e y   d e   ( 1 ,   0 )   a   ( e ,   1 )

Passo 1

Para resolver o problema vamos aplicar a definição de integral de linha e descobrir os intervalos da nossa função de parâmetro que usaremos como a curva C para nossa integral.

Passo 2

Temos que a integral de linha é definida por

∫ C f x , y ⋅ d s = ∫ a b f x t , y t ⋅ γ ' t ⋅ d t

O problema nos da qual é a curva C que devemos integrar. Se chamarmos y = t temos que nosso x = e t . Analisando os limites de x e y , temos que o intervalo de t que satisfaz as condições é 0 ≤ t ≤ 1 , pois quando t = 0 ,   x = 1 ,   y = 0 e quando t = 1 ,   x = e ,   y = 1 .

Se derivarmos x , podemos encontrar qual o valor de d x

x = e t

d x d t = d d t e t

d x d t = e t

d x = e t ⋅ d t

Substituindo então na nossa integral de linha, temos que

∫ C x ⋅ e y ⋅ d x = ∫ 0 1 e t ⋅ e t ⋅ e t ⋅ d t = ∫ 0 1 e 3 ⋅ t ⋅ d t = e 3 ⋅ t 3 0 1 = 1 3 ⋅ e 3 - 1

Assim chegamos que nosso valor da integral de linha é 1 3 ⋅ e 3 - 1

Resposta

∫ C x ⋅ e y ⋅ d x = 1 3 ⋅ e 3 - 1

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