Enunciado

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x y z   d s

C : x = 2   s e n   t ,   y = t ,   z =   - 2 cos ⁡ t com 0 ≤ t ≤ π

Passo 1

Primeira coisa que devemos nos atentar é que d s significa um comprimento de arco, ou seja

d s = d x 2 + d y 2 + d z 2

Por um simples transformação usando a regra da cadeia, podemos reescrever d s como

d s = d x 2 + d y 2 + d z 2 d t d t =   d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2     d t

Assim temos agora elementos para dar procedimento em nossa integral

Passo 2

Pela parametrização sugerida no enunciado, podemos então escrever que

d x d t = 2 cos ⁡ t

d y d t = 1

d z d t =   + 2 sen ⁡ t

Desta forma podemos reescrever nosso d s

d s = 2 cos ⁡ t 2 + 1 + + 2   s e n   t 2   d t = 1 + 4 cos 2 ⁡ t + s e n 2 t   d t = 5   d t

Passo 3

Logo nossa integral fica

∫ 2   s e n   t t - 2 cos ⁡ t 5   d t = - 4 5 ∫ t ⋅ s e n   t ⋅ cos ⁡ t   d t

Das relações trigonométricas s e n ( a + b ) e cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1 tiramos que

s e n   t cos ⁡ t = s e n   2 t 2  

Onde podemos resolver a integral por partes

t = u → d t = d u

s e n   2 t   d t =   d v → v = - cos ⁡ 2 t 2

Assim nossa integral se resume a

- 2 5 ∫ t   s e n   2 t   d t = - 2 5 - t cos ⁡ 2 t 2 - ∫ - cos ⁡ 2 t 2   d t    

- 2 5 - t cos ⁡ 2 t 2 + s e n   2 t 4 → 2 5 π 2 = 5 π

Resposta

5 π

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29- Se C é a curva com equações paramétricas x = ln ⁡ t , y = e - t , 1 ≤ t ≤ 2 , use uma calculadora ou CAS para calcular a integral de linha ∫ C xs e nyd s com precisão até a terceira casa decimal.
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C 2 x yd s , onde C é o arco de circunferência x 2 + y 2 = 4 de 2,0a1 ,3
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C y 2d s , onde C é o primeiro arco da cicloide: r - t = 2 t - s e nt i → + 2 ( 1 - cos ⁡ t ) j -
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C x 2 d s , C é o arco da hipociclóide x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 , a0 , primeiro quadrante.
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C y d s , onde C é a curva dada por y = x 3 de - 1 , - 1a( 1,1 ) .