Enunciado

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x y e y z   d y

C : x = t ,   y = t 2 ,   z =   t 3 com 0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Primeira coisa que devemos perceber que não se trata de uma integral difícil de resolver, mesmo tendo uma cara estranha. Talvez não seja algo nítido de começo, mas podemos resolve-la por uma substituição simples.

Passo 2

Pela parametrização sugerida no enunciado, podemos então escrever que

d y = 2 t   d t

Assim utilizando a parametrização sugerida, temos

∫ t   t 2 e t 2 t 3 2 t   d t = ∫ 2 t 4 e t 5 d t

Passo 3

Vamos fazer uma transformação simples, onde

t 5 = u → t 4 d t = d u 5

Na qual

t = 0 → u = 0

t = 1 → u = 1

Assim podemos reescrever nossa integral como

∫ 2 5 e u d u = 2 5 e u = 2 5 e 1 - e 0 = 2 5 ( e - 1 )

Resposta

2 5 ( e - 1 )

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