Enunciado

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C y + z d x + x + z d y + x + y d z

C consiste nos segmentos de reta de ( 0,0 , 0 ) a ( 1,0 , 1 ) e de ( 1,0 , 1 ) a ( 0,1 , 2 )

Passo 1

Devemos lembrar que em uma integral por caminho, vale a seguinte relação

∫ C = ∫ C 1 + ∫ C 2 + … + ∫ C n    

Posteriormente devemos parametrizar cada caminho e assim integra-los separadamente.

Passo 2

Para curva C 1

γ 1 t = ( t , 0 , t )

Para a curva C 2

γ 2 t = ( 1 - t , t , 1 + t )

Ambas as curvas trabalhando com 0 ≤ t ≤ 1

Assim nossa integral fica

∫ C 1 t   d t + 2 t 0 + t d t + ∫ C 2 t + 1 + t - d t + 1 - t + 1 + t d t + 1 - t + t d t

Passo 3

Para a primeira curva temos

∫ C 1 2 t   d t = t 2 = 1

Para a segunda curva temos

∫ C 2 - 2 t + 1 d t + 2 d t + d t = ∫ C 2 2 - 2 t d t = 2 t - t 2 = 2 - 1 = 1

Logo temos que

∫ C y + z d x + x + z d y + x + y d z = 2

no intervalo sugerido.

Resposta

2

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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:24. ∫ C y d x + z d y - x y d z , onde C é dada por y = s e nx ; z = 4 ; x ∈ [ 0,2 π ] .
Calcule ∫ γ 2 d x - d y , onde γ tem por imagem x 2 + y 2 = 4 , x ≥ 0 e y ≥ 0 ; o sentido de percurso é de 2,0 para 0,2 .
Calcule ∫ γ d x + y d y + d z onde γ é a interseção do plano y = x com a superfície z = x 2 + y 2 , z ≤ 2 , sendo o sentido de percurso do ponto - 1 , - 1,2 para o ponto 1,1 , 2 .
Calcule ∫ γ d x + d y + d z , onde γ é a interseção entre as superfícies y = x 2 e z = 2 - x 2 - y 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 e z ≥ 0 , sendo o sentido de percurso do ponto 1,1 , 0 para o ponto 0,0 , 2 .
Calcule ∫ γ xd x + yd y + z d z , onde γ é o segmento de extremidades 0,0 , 0 e 1,2 , 1 , percorridos no sentido de 1,2 , 1 para 0,0 , 0 .