Enunciado

Calcule ∫ γ 2 d x - d y , onde γ tem por imagem x 2 + y 2 = 4 , x ≥ 0 e y ≥ 0 ; o sentido de percurso é de 2,0 para 0,2 .

Passo 1

Chegamos a um exercício simples, comparado com os que vimos anteriormente. Mesmo assim devemos lembrar de algumas coisinhas que vimos em nossas aulas de Geometria Analítica. Na verdade, devemos lembrar só de coordenada polares. Assim segue o nosso raciocínio a baixo

Passo 2

A nossa γ é a curva x 2 + y 2 = 4 que consta no primeiro quadrante. Assim vamos tomar

x = 2 cos ⁡ θ → d x =   - 2   s e n   θ   d θ

y = 2   s e n   θ → d y =   2 cos ⁡ θ   d θ

Assim devemos variar nosso θ de 0 à π / 2 .

Desta forma nossa integral se resume em

∫ 0 π / 2 - 4   s e n   θ   d θ - 2 cos ⁡ θ   d θ

Que por sorte, são integrais fáceis de resolvemos

= 4 cos ⁡ θ - 2   s e n   θ 0 π / 2 = 0 - 2 - 4 + 0 = - 6

Que é por incrível coincidência a resposta que encontramos no livro hahaha

Resposta

- 6

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Calcule ∫ γ xd x + yd y + z d z , onde γ é o segmento de extremidades 0,0 , 0 e 1,2 , 1 , percorridos no sentido de 1,2 , 1 para 0,0 , 0 .
Calcule ∫ γ xd x + d y + 2d z , onde γ é a interseção do paraboloidez = x 2 + y 2 com o plano z = 2 x + 2 y - 1 ; o sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de γ t , no plano x y
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
Calcule ∫ γ 2 y d x + z d y + x d z , onde γ é a interseção das superfícies x 2 + 4 y 2 = 1 e x 2 + z 2 = 1 , y ≥ 0 e z ≥ 0 , sendo o sentido de percurso do ponto 1 , 0 , 0 para o ponto - 1 , 0,0 .
Calcule ∮ c fd S 1.d f x , y , z = e z E C é definida por σ t = 1,2 , t 2 0 ≤ t ≤ 1