Enunciado

Expresse D como a região do tipo I e também como uma região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras.

∬ D x y d A

D é limitada pelas retas y = x 2 , y = 3 x

Passo 1

Temos um problema de integração em uma região geral. Precisamos entender que tipo de região estamos trabalhando para poder resolver a integral.

Uma região do tipo 1 é uma região limitada acima e abaixo por uma curva, além disto, é limitada lateralmente por retas verticais. Portanto, o seu domínio é:

D = x , y x 0 ≤ x ≤ x 1 ,   g x ≤ y ≤ f x }

Já uma região do tipo 2 é o contrário. É uma região limitada lateralmente por curvas, mas acima e abaixo por retas horizontais. Portanto, temos o seguinte domínio:

D = x , y y 0 ≤ y ≤ y 1 ,   g y ≤ x ≤ f y }

Vamos começar por esboçar o gráfico da nossa região. Posteriormente, vamos escrever cada uma das regiões.

Passo 2

Primeiramente, vamos esboçar a nossa região. Portanto,

As duas curvas se intersectam nos pontos em que:

y r e t a = y p a r á b o l a

3 x = x 2

x 2 - 3 x = 0

x x - 3 = 0

Portanto, no ponto A = ( 0,0 ) e no ponto B = 3,9 .

Passo 3

Agora podemos começar a escrever a nossa região. Como a região do tipo I é limitada acima por uma curva e abaixo por outra, temos

x 2 ≤ y ≤ 3 x

Já os limites laterais são 0 ≤ x ≤ 3 . Portanto, a nossa integral é:

∫ 0 3 ∫ x 2 3 x x y d y d x

Resolvendo-a, temos:

∫ 0 3 ∫ x 2 3 x x y d y d x = ∫ 0 3 x ⋅ y 2 2 x 2 3 x d x

∫ 0 3 x ⋅ 9 x 2 2 - x 4 2 d x

∫ 0 3 9 x 3 2 - x 5 2 d x

9 x 4 8 - x 6 12 0 3 = 729 8 - 243 4 = 243 8

Passo 4

Vamos escrever a nossa região como uma região do tipo II. Portanto, ela é limitada a esquerda por uma curva e a direita por outra curva. Portanto, temos:

y 3 ≤ x ≤ y

Acima ela é limitada pela reta y = 9 (se resume a um ponto) e abaixo por outra reta y = 0 . Observem que estas retas são dadas pelos pontos de interseção das curvas. Portanto, a nossa integral é:

∫ 0 9 ∫ y 3 y x y d x d y

Resolvendo-a, temos:

∫ 0 9 ∫ y 3 y x y d x d y = ∫ 0 9 ∫ y 3 y y x 2 2 y / 3 y d x d y

∫ 0 9 y y 2 - y 2 18 d y = ∫ 0 9 y 2 2 - y 3 18 d y

y 3 6 - y 4 72 0 9 = 243 2 - 729 8 = 243 8

Resposta

∫ 0 3 ∫ x 2 3 x x y d y d x = ∫ 0 9 ∫ y 3 y x y d x d y = 243 8

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