Enunciado

Calcule a integral de linha ∫ C F   .   d r , onde C é dada pela função vetorial r t .

F x ,   y = s e n   x   i + cos ⁡ y j + x z   k   ,                     r t = t 3   i - t 2   j + t   k   ,           0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Galera, temos que escrever a integral de linha assim:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 F r t   .   r ' t   d t

Mas,

F r t = s e n t 3 i + cos ⁡ - t 2 j + t 3 t   k

Como a função cosseno é par, então podemos usar cos ⁡ - t 2 = c o s ⁡ ( t 2 )

F r t = s e n t 3   i + cos ⁡ ( t 2 ) j + t 4   k

r ' t = 3 t 2   i - 2 t   j + k

Então,

∫ 0 1 F r t   .   r ' t   d t = ∫ 0 1 s e n t 3 , cos ⁡ t 2 ,   t 4   .   3 t 2 ,   - 2 t ,   1   d t = ∫ 0 1 3 t 2   s e n t 3 - 2 t cos ⁡ t 2 + t 4 d t

Passo 2

Agora é só resolver a integral obtida:

∫ 0 1 3 t 2   s e n t 3 - 2 t cos ⁡ t 2 + t 4 d t = - cos ⁡ t 3 - s e n t 2 + t 5 5 0 1 = - cos ⁡ 1 - s e n   1 + 1 5 + 1 + 0 - 0 = 6 5 - s e n   1 - cos ⁡ 1

Resposta

6 5 - s e n   1 - cos ⁡ 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

7. Determinar o trabalho realizado pela força f → x , y , z = ( y , x , z 2 ) para deslocar a partícula ao longo da hélice dada por r → t = ( 2 cos ⁡ t ,2 sen ⁡ t ,2 t ) do ponto A ( 2,0 , 0 ) ao pont
Nos exercícios 11 a 17, determinar a integral curvilínea do campo vetorial f → ao longo da curva C dada.12. f → x , y , z = ( x 2 , 1 / y , x z ) ; C é o segmento de reta que une o ponto A ( 2,1 , 0 )
Nos exercícios 11 a 17, determinar a integral curvilínea do campo vetorial f → ao longo da curva C dada.15. f → x , y , z = ( x ,y , z ) ; C é a interseção das superfícies x 2 + y 2 - 2 y = 0 e z = y
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:21. ∫ C z d x + y d y - x d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 8 e x 2 + y 2 + z 2 - 8 z = 0 . Considere os dois possíve
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:23. ∫ C x d x + y d y + x d z , onde C é a intersecção das superfícies z = x 2 + y 2 e x = 2 do ponto A ( 2 ,- 12 ,4 ) ao ponto B ( 2 ,1