Enunciado

Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:

23. ∫ C x d x + y d y + x d z , onde C é a intersecção das superfícies z = x 2 + y 2 e x = 2 do ponto A ( 2 ,   - 12 ,   4 ) ao ponto B ( 2 ,   12 ,   4 ) .

Passo 1

Bom! Vamos lá pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:

∫ C f → x , y , z d r →

E o nosso campo vetorial f → x , y , z , pela integral que vemos no enunciado:

∫ C x d x + y d y + x d z

Tiramos que é dado por:

f → x , y , z = ( x , y , x )

Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa.

Olha só! Já sabemos que a primeira coisa que temos que fazer é parametrizar a curva, que no nosso caso, é a intersecção de duas superfícies:

Passo 2

Então, vamos analisar a primeira superfície:

z = x 2 + y 2

z 2 = x 2 + y 2

E depois, dado que:

x = 2

Bora substituir esse valor na nossa primeira equação:

z 2 = x 2 + y 2

z 2 = 4 + y 2

z = 4 + y 2

Pronto! A variável z está em função de y agora. A melhor coisa a se fazer então, é chamar esse y de t . Obtemos assim, a seguinte parametrização:

γ t = ( 2 , t , 4 + t 2 )

Passo 3

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.

Onde temos que:

f → x , y , z = ( x , y , z )

E fazendo a troca pelos nossos valores paramétricos, obtemos que:

f → x , y , z = ( 2 , t , 2 )

Passo 4

Seguindo nosso raciocínio... O passo número quatro consiste em encontrar o termo d r → fazendo:

d r → = γ ' t d t

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de γ t . Vamos lá:

γ ' ( t ) = 0,1 , 0

Passo 5

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

∫ C f → x , y , z d r → = ∫ t 1 t 2 f → x , y , z d r →

Pera! Mas quais são os limites de integração?

Ora bolas! Para achar os valores que queremos, basta substituir valores em t e ver quais valores correspondem aos pontos do enunciado. Bora lá:

Para t = - 12 :

γ t = ( 2 , t , 2 )

γ - 12 = 2 , - 12 , 2 → P o n t o   A

Para t = 12 :

γ t = ( 2 , t , 2 )

γ 12 = 2 , 12 , 2 → P o n t o   B

Nosso limite de integração, então vai de - 12 até 12 :

∫ C f → x , y , z d r → =

= ∫ - 12 12 2 , t , 4 + t 2 0,1 , 0 d t =

= ∫ - 12 12 ( t ) d t = t 2 2 - 12 12 =

= 12 - 12 2 = 0

Resposta

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Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.
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