Enunciado

Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.

∬ D x   d A

Onde D é a região no primeiro quadrante que se encontra entre os círculos x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 2 x .

Passo 1

Fala galera, beleza? Pra começar, vamos lembrar que todo círculo tem uma equação geral:

x - x o 2 + y - y o 2 = r 2

Onde O = x o , y o é onde ela está centrada e r é seu raio. Pro primeiro círculo, com equação:

x 2 + y 2 = 4

Já sabemos que temos um círculo de raio 2 centrado na origem:

Agora pro segundo círculo:

x 2 + y 2 = 2 x

Vamos precisar dar uma manipuladinha, saca só:

x 2 - 2 x + y 2 = 0

x 2 - 2 x + 1 - 1 + y 2 = 0

x - 1 2 - 1 + y 2 = 0

x - 1 2 + y 2 = 1

Vamos ter então um círculo centrado em 1,0 de raio 1 :

Como queremos a região no primeiro quadrante que esteja entre esses dois círculos, tamos falando desse vermelhão aqui:

Show! Região D entendida! Bora pras coordenadas polares

Passo 2

Agora pra descrever a região D em coordenadas polares, temos que achar como que r varia e como que θ varia. Pô, dando uma boa olhada na região D , vemos que a menor distância radial que a região tem da origem é exatamente a circunferência menor:

E a maior distância radial é justamente 2 , que é o tamanho da circunferência maior:

O intervalo de r será então:

c i r c u n f e r ê n c i a   m e n o r ≤ r ≤ 2

Como a circunferência menor tem essa equação:

x 2 + y 2 = 2 x

E a mudança de coordenadas pras polares é:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

Substituindo, achamos:

r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 = 2 r cos ⁡ θ

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sen 2 ⁡ θ = 2 r cos ⁡ θ

r 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 2 r cos ⁡ θ

r 2 = 2 r cos ⁡ θ

r = 2 cos ⁡ θ

Fechou, o intervalo final será:

2 cos ⁡ θ ≤ r ≤ 2

Agora, pro θ , é o seguinte. Como definimos ele por ser o intervalo de abertura de determinado ângulo θ que contenha toda a região D , sendo que essa abertura rola no sentido anti-horário partindo do Eixo O x no primeiro quadrante:

O intervalo que contém D inteira é o próprio primeiro quadrante inteiro, logo:

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 3

Agora que sabemos os limites de integração, bora remontar a integral:

∬ D x   d A

Essa integral deve:

  • Ganhar os limites de integração vistos no passo 2
  • O x dentro da integral deve ser substituído por r cos ⁡ θ , conforme a mudança de coordenadas
  • Ter d A substituído por d r   d θ
  • Deve-se adicionar o jacobiano da mudança de coordenadas multiplicando esse x aí dentro, que no caso é J = r

A integral fica:

∬ D x   d A = ∫ 0 π 2 ∫ 2 cos ⁡ θ 2 r cos ⁡ θ ∙ r   d r   d θ

∬ D x   d A = ∫ 0 π 2 ∫ 2 cos ⁡ θ 2 r 2 cos ⁡ θ   d r   d θ

Partiu integrar

Passo 4

Agora integrando, saca só o que acharemos:

∬ D x   d A = ∫ 0 π 2 r 3 cos ⁡ θ 3 r = 2 cos ⁡ θ r = 2 d θ

∬ D x   d A = ∫ 0 π 2 8 cos ⁡ θ 3 - 8 cos 3 ⁡ θ cos ⁡ θ 3 d θ

∬ D x   d A = ∫ 0 π 2 8 cos ⁡ θ 3 - 8 cos 4 ⁡ θ 3 d θ

∬ D x   d A = 8 3 ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ - cos 4 ⁡ θ d θ

Daqui em diante podemos separar em duas integrais:

∬ D x   d A = 8 3 ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ d θ - 8 3 ∫ 0 π 2 cos 4 ⁡ θ d θ

Onde, resolvendo a primeira, temos:

∬ D x   d A = 8 3 sen ⁡ θ θ = 0 θ = π 2 - 8 3 ∫ 0 π 2 cos 4 ⁡ θ d θ

∬ D x   d A = 8 3 sen ⁡ π 2 - sen ⁡ 0 - 8 3 ∫ 0 π 2 cos 4 ⁡ θ d θ

∬ D x   d A = 8 3 1 - 0 - 8 3 ∫ 0 π 2 cos 4 ⁡ θ d θ

∬ D x   d A = 8 3 - 8 3 ∫ 0 π 2 cos 4 ⁡ θ d θ

Agora, pra segunda integral, como:

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Vamos ter:

cos 4 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 2 = 1 + 2 cos ⁡ 2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ 4

cos 4 ⁡ θ = 1 + 2 cos ⁡ 2 θ + 1 + cos ⁡ 4 θ 2 4 = 2 + 4 cos ⁡ 2 θ 2 + 1 + cos ⁡ 4 θ 2 4

cos 4 ⁡ θ = 2 + 4 cos ⁡ 2 θ + 1 + cos ⁡ 4 θ 8

cos 4 ⁡ θ = 3 + 4 cos ⁡ 2 θ + cos ⁡ 4 θ 8

cos 4 ⁡ θ = 3 8 + 4 cos ⁡ 2 θ 8 + cos ⁡ 4 θ 8

A integral fica:

∬ D x   d A = 8 3 - 8 3 ∫ 0 π 2 cos 4 ⁡ θ d θ

∬ D x   d A = 8 3 - 8 3 ∫ 0 π 2 3 8 + 4 cos ⁡ 2 θ 8 + cos ⁡ 4 θ 8 d θ

∬ D x   d A = 8 3 - 8 3 ∫ 0 π 2 3 8 d θ - 8 3 ∫ 0 π 2 4 cos ⁡ 2 θ 8 d θ - 8 3 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 4 θ 8 d θ

∬ D x   d A = 8 3 - ∫ 0 π 2 1 d θ - 4 3 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 θ d θ - 1 3 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 4 θ d θ

Resolvendo essas integrais:

∬ D x   d A = 8 3 - θ θ = 0 θ = π 2 - sen ⁡ 2 θ 2 θ = 0 θ = π 2 - sen ⁡ 4 θ 4 θ = 0 θ = π 2

∬ D x   d A = 8 3 - π 2 - 0 - sen ⁡ π 2 - sen ⁡ 0 2 - sen ⁡ 2 π 4 - sen ⁡ 0 4

∬ D x   d A = 8 3 - π 2 - 0 - 0 - 0 - 0

∬ D x   d A = 8 3 - π 2

Resposta

∬ D x   d A = 8 3 - π 2

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Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é o sólido acima do plano x y limitado pelas superficies z = 0 , x + y + z = 1 e x 2 + y 2 = 1 .
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 25ex 2 + y 2 ≥ 9
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superficíces z = 0 , x 2 + y 2 = 2 y e z = x 2 + y 2 .
Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares. ∫ 0 1 ∫ y 2 - y 2 ( x + y )d xd y
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região delimitada pela curva r = 4 + 3 c o sθ .