Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 14
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
Onde é a região no primeiro quadrante que se encontra entre os círculos e .
Passo 1
Fala galera, beleza? Pra começar, vamos lembrar que todo círculo tem uma equação geral:
Onde é onde ela está centrada e é seu raio. Pro primeiro círculo, com equação:
Já sabemos que temos um círculo de raio centrado na origem:
Agora pro segundo círculo:
Vamos precisar dar uma manipuladinha, saca só:
Vamos ter então um círculo centrado em de raio :
Como queremos a região no primeiro quadrante que esteja entre esses dois círculos, tamos falando desse vermelhão aqui:
Show! Região entendida! Bora pras coordenadas polares
Passo 2
Agora pra descrever a região em coordenadas polares, temos que achar como que varia e como que varia. Pô, dando uma boa olhada na região , vemos que a menor distância radial que a região tem da origem é exatamente a circunferência menor:
E a maior distância radial é justamente , que é o tamanho da circunferência maior:
O intervalo de será então:
Como a circunferência menor tem essa equação:
E a mudança de coordenadas pras polares é:
Substituindo, achamos:
Fechou, o intervalo final será:
Agora, pro , é o seguinte. Como definimos ele por ser o intervalo de abertura de determinado ângulo que contenha toda a região , sendo que essa abertura rola no sentido anti-horário partindo do Eixo no primeiro quadrante:
O intervalo que contém inteira é o próprio primeiro quadrante inteiro, logo:
Passo 3
Agora que sabemos os limites de integração, bora remontar a integral:
Essa integral deve:
- Ganhar os limites de integração vistos no passo
- O dentro da integral deve ser substituído por , conforme a mudança de coordenadas
- Ter substituído por
- Deve-se adicionar o jacobiano da mudança de coordenadas multiplicando esse aí dentro, que no caso é
A integral fica:
Partiu integrar
Passo 4
Agora integrando, saca só o que acharemos:
Daqui em diante podemos separar em duas integrais:
Onde, resolvendo a primeira, temos:
Agora, pra segunda integral, como:
Vamos ter:
A integral fica:
Resolvendo essas integrais: