Calcule a integral.

∫ 0 π 4 tg 5 ⁡ θ sec 3 ⁡ θ d θ

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: temos tangente e secante na expressão, vamos separar um pouco a expressão para usar Substituição:

∫ 0 π 4 tg 5 ⁡ θ sec 3 ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 4 tg 2 ⁡ θ 2 sec 2 ⁡ θ sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ θ - 1 2 sec 2 ⁡ θ sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Repare que também usamos a identidade trigonométrica tg 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ .

Passo 2

Vamos fazer a Substituição, vamos fazer com que u seja a expressão da secante , vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = sec ⁡ θ

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u =   sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Vamos mudar os limites de integração também:

u = sec ⁡ 0 = 1 e u = sec ⁡ π 4 = 2

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ θ - 1 2 sec 2 ⁡ θ sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ = ∫ 1 2 u 2 - 1 2 u 2 d u = ∫ 1 2 u 4 - 2 u 2 + 1 u 2 d u = ∫ 1 2 u 6 - 2 u 4 + u 2 d u

Passo 3

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

∫ u 6 - 2 u 4 + u 2 d u

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Vamos usar:

∫ u 6 - 2 u 4 + u 2 d u = ∫ u 6 d u + ∫ - 2 u 4 d u + ∫ u 2 d u = u 7 7 - 2 ∫ u 4 d u + u 3 3 = u 7 7 - 2 u 5 5 + u 3 3 + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ 1 2 u 6 - 2 u 4 + u 2 d u = u 7 7 - 2 u 5 5 + u 3 3 1 2 = 2 7 7 - 2 2 5 5 + 2 3 3 - 1 7 7 - 2 . 1 5 5 + 1 3 3 = 22 2 105 - 1 8 105 = 22 2 - 18 105

Resposta

∫ 0 π 4 tg 5 ⁡ θ sec 3 ⁡ θ d θ = 22 2 - 18 105

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