Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S   x z   d S

S é a fronteira da região delimitada pelo cilindro y 2 + z 2 = 9 e pelos planos x = 0 e x + y = 5

Passo 1

Galera, nesse caso, S será composta de três superfícies. Vamos chamar assim:

S 1 :         x = 0

S 2 :           y 2 + z 2 = 9

S 3 :           x = 5 - y

Vamos calcular a integral de cada superfície, de forma que:

∫ ∫ S   x z   d S = ∫ ∫ S 1   x z   d S + ∫ ∫ S 2   x z   d S + ∫ ∫ S 3   x z   d S

Já começamos com a mais trivial, quando x = 0 :

∫ ∫ S 1   x z   d S = ∫ ∫ S 1   0 d S = 0

Passo 2

Agora, para S 2 , vamos usar a seguinte parametrização:

r x ,   θ = x   i + 3 cos ⁡ θ j + 3   s e n   θ   k   ,           0 ≤ θ ≤ 2 π   ,       0 ≤ x ≤ 5 - y = 5 - 3 cos ⁡ θ

Então,

r x × r θ = 1 ,   0 ,   0 × 0 ,   - 3   s e n   θ , 3 cos ⁡ θ = 0 ,   - 3 cos ⁡ θ ,   - 3   s e n   θ

r x × r θ = 9 cos 2 ⁡ θ + 9   s e n 2   θ = 3

Portanto, teremos:

∫ ∫ S 2   x z   d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 5 - 3 cos ⁡ θ x 3   s e n   θ 3   d x   d θ = 3 ∫ 0 2 π 3   s e n   θ x 2 2 0 5 - 3 cos ⁡ θ d θ = 3 2 ∫ 0 2 π 3   s e n   θ   5 - 3 cos ⁡ θ 2 d θ = 3 2 5 - 3 cos ⁡ θ 3 3 0 2 π = 1 2 2 3 - 2 3 = 0

Passo 3

Para S 3 , podemos ver x como uma função de y e z , escrevendo assim:

x y ,   z = 5 - y   ,           ∂ x ∂ y = - 1   ,           ∂ x ∂ z = 0

Então a gente escreve a integral assim:

∫ ∫ S 3   x z   d S = ∫ ∫ D   5 - y z   1 + - 1 2 + 0 2   d A

onde D é o disco y 2 + z 2 ≤ 9 . Então, é melhor usar coordenadas polares aqui:

∫ ∫ D   5 - y z   2   d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 5 - r cos ⁡ θ r   s e n   θ   2   r   d r   d θ = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 5 r 2   s e n   θ - r 3   s e n   θ cos ⁡ θ   d r   d θ = 2 ∫ 0 2 π 5 r 3   s e n   θ 3 - r 4   s e n   θ cos ⁡ θ 4 r = 0 r = 3 d θ = 2 ∫ 0 2 π 45   s e n   θ - 81 4 s e n   θ cos ⁡ θ d θ = 2 - 45 cos ⁡ θ - 81 4 s e n 2   θ 2 0 2 π = 2   - 45 - 0 + 45 + 0 = 0

Ou seja,

∫ ∫ S   x z   d S = ∫ ∫ S 1   x z   d S + ∫ ∫ S 2   x z   d S + ∫ ∫ S 3   x z   d S = 0 + 0 + 0 = 0

Resposta

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