Enunciado

Determine o comprimento da curva dada.

r (t) = 〈t^3 , 6 t , 3 t^2〉 , 0 <= t <= 3

Passo 1

Temos que r (t) = 〈t^3 , 6 t , 3 t^2〉 , e para encontrarmos o comprimento dessa curva, primeiro passo é derivar a função.

Então, temos que:

r ' (t) = 〈3 t^2 , 6 , 6 t〉

Passo 2

Feito essa passo, precisamos agora calcular |r^' (t)| . Então vamos la!

|r^' ( t )| = sqrt((3 t^2)^2 + (6)^2 + (6 t)^2) = sqrt(9 t^4 + 36 t^2 + 36) = sqrt(9 (t^4 + 4 t^2 + 4))

Viu que apareceu um quadrado perfeito? A gente pode reescrever 4 + 4 t^2 + t^4 = (t^2 + 2)^2

Isso nos da que:

|r^' (t)| = sqrt(9 (t^4 + 4 t^2 + 4)) = sqrt(9 (t^2 + 2)^2) = |3 (2 + t^2)|

Como t^2 >= 0 para t real,

|r^' (t)| = 3 (2 + t^2)

Passo 3

Agora precisamos integrar esse valor que encontramos, ou seja:

int_a^b |r^' ( t )| d t

Note que nosso intervalor é:

0 <= t <= 3

E que encontramos

|r^' ( t )| = 3 (2 + t^2)

Assim,

3 int_0^3 2 + t^2 d t = 3 ((2 t + (1)/(3) t^3|_0^3) = 3 ((2 * 3 + (1)/(3) * 3^3) - (2 * 0 + (1)/(3) * 0^3)) = 45

Resposta

45

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