Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∬ y 2 z 2 d S

S é a parte do cone y = x 2 + z 2 dado por 0 ≤ y ≤ 5 .

Passo 1

Galera, para calcularmos essa integral de superfície, precisamos trabalhar inicialmente com as equações paramétricas. Sabemos que

f x , y , z = y 2 z 2

Qualquer superfície S com equação y = g ( x , z ) pode ser considerada uma superfície parametrizada com equações parametrizadas. Neste caso, a integral de superfície se torna:

∬ f x , y , z d S = ∬ f x , y , g x , y ∂ y ∂ x 2 + ∂ y ∂ z 2 + 1 d A

Precisamos achar as derivadas parciais de z . Assim,

∂ y ∂ x = x x 2 + z 2

∂ y ∂ z = z x 2 + z 2

Escrevendo a expressão que fica dentro da integral:

f x , y , g x , y ∂ y ∂ x 2 + ∂ y ∂ z 2 + 1 = y 2 z 2 x x 2 + z 2 2 + z x 2 + z 2 2 + 1

f x , y , g x , y ∂ y ∂ x 2 + ∂ y ∂ z 2 + 1 = y 2 z 2 2

Passo 2

Portanto,

∬ y 2 z 2 d S = ∬ y 2 z 2 2 d x d z

Substituindo y = x 2 + z 2 ,

2 ∬ ( x 2 + z 2 ) z 2 d x d z

A região D é o interior do círculo x 2 + z 2 ≤ 5 2 . Vamos usar coordenadas polares para facilitar a vida! Seja x = r cos ⁡ θ e z = r sen ⁡ θ . Assim,

∬ f x , y , z d S = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 2 ⋅ r 2 sen 2 ⁡ θ r d r d θ

∬ f x , y , z d S = 2 ∫ 0 2 π sen 2 ⁡ θ   d θ ∫ 0 5 r 5   d r

Podemos usar a propriedade trigonométrica sen 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2 na primeira integral. Assim,

∬ f x , y , z d S = 2 ∫ 0 2 π 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 θ d θ r 6 6 0 5  

∬ f x , y , z d S = 2 θ 2 - 1 4 sin ⁡ 2 θ 0 2 π ⋅ 5 6 6 - 0 6

∬ f x , y , z d S = 15625 π 2 6

Resposta

A integral é igual a

∬ f x , y , z d s = 15625 π 2 6

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