Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∬ y d S

S é a superfície z = 2 3 x 3 2 + y 3 2 ,     0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1 .

Passo 1

Galera, para calcularmos essa integral de superfície, precisamos trabalhar inicialmente com as equações paramétricas. Sabemos que

f x , y , z = x

Qualquer superfície S com equação z = g ( x , y ) pode ser considerada uma superfície parametrizada com equações parametrizadas. Neste caso, a integral de superfície se torna:

∬ f x , y , z d S = ∬ f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 d A

Precisamos achar as derivadas parciais de z . Assim,

∂ z ∂ x = x

∂ z ∂ y = y

Escrevendo a expressão que fica dentro da integral:

f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 = y x 2 + y 2 + 1

f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 = y x + y + 1

Passo 2

Vamos agora substituir esses valores encontrados na integral!

∬ f x , y , z d S = ∫ 0 1 ∫ 0 1   y x + y + 1 d x d y

∬ f x , y , z d S = ∫ 0 1 2 3 y x + y + 1 3 2 0 1 d y

∬ f x , y , z d S = 2 3 ∫ 0 1 y y + 2 3 2 - y y + 1 3 2 d y

∬ f x , y , z d S = 2 3 ∫ 0 1 y y + 2 3 2 d y - 2 3 ∫ 0 1 y y + 1 3 2 d y

Vamos resolver as duas integrais pelo método da substituição. Seja u = y + 2 na primeira integral e t = y + 1 na segunda, temos:

∬ f x , y , z d S = 2 3 ∫ 2 3 u - 2 u 3 2 d u - 2 3 ∫ 1 2 t - 1 t 3 2 d t

∬ f x , y , z d S = 2 3 2 7 u 7 2 - 4 5 u 5 2 2 3 - 2 3 2 7 t 7 2 - 2 5 t 5 2 1 2

∬ f x , y , z d S = 2 3 2 7 3 7 2 - 2 7 2 - 4 5 3 5 2 - 2 5 2 - 2 7 2 7 2 - 1 + 2 5 2 5 2 - 1

∬ f x , y , z d S = 2 3 18 35 3 + 8 35 2 - 4 35 = 4 105 9 3 + 4 2 - 2

Resposta

A integral é igual a

∬ f x , y , z d s = 4 105 9 3 + 4 2 - 2

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