Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∬ x z d S

S é parte do plano 2 x + 2 y + z = 4 que está no primeiro octante.

Passo 1

Galera, para calcularmos essa integral de superfície, precisamos trabalhar inicialmente com as equações paramétricas. Sabemos que

f x , y , z = x z

Qualquer superfície S com equação z = g ( x , y ) pode ser considerada uma superfície parametrizada com equações parametrizadas. Neste caso, a integral de superfície se torna:

∬ f x , y , z d S = ∬ f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 d A

Precisamos achar as derivadas parciais de z . Podemos reescrever o plano como z = 4 - 2 x - 2 y . Assim,

∂ z ∂ x = - 2

∂ z ∂ y = - 2

Escrevendo a expressão que fica dentro da integral:

f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 = x 4 - 2 x - 2 y - 2 2 + - 2 2 + 1

f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 = 12 x - 6 x 2 - 6 x y

Passo 2

Vamos agora substituir esses valores encontrados na integral!

∬ f x , y , z d S = 3 ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ( 4 x - 2 x 2 - 2 x y ) d y d x = 3 ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ( 4 x - 2 x 2 - 2 x y ) d y d x

∬ f x , y , z d S = 3 ∫ 0 2 4 x y - 2 x 2 y - x y 2 0 2 - x d x

∬ f x , y , z d S = 3 ∫ 0 2 4 x 2 - x - 2 x 2 2 - x - x 2 - x 2 d x

Estamos quase lá!

∬ f x , y , z d S = 3 ∫ 0 2 ( x 3 - 4 x 2 + 4 x ) d x

∬ f x , y , z d S = 3 1 4 x 4 - 4 3 x 3 + 2 x 2 0 2

∬ f x , y , z d S = 3 4 - 32 3 + 8 = 4

Resposta

A integral é igual a

∬ f x , y , z d s = 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a área das seguintes superfícies c) Superfície do sólido limitado pelo cone z 2 = x 2 + y 2 e a parte superior da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .
Deseja-se construir uma pela de zinco que tem a forma de superfície de equação z = 1 - x 2 , compreendida entre os planos y = 0 ,z = 0 e o cilindro z = 1 - y 2 , y ≥ 0 . Se o metro quadrado do zinco c
Calcule a área das seguintes superfíciesf) Superfície do paraboloide z = 5 - x 2 2 - y 2 que se encontra no interior do cilindro x 2 + 4 y 2 = 4 .
Calcule a área das seguintes superfícies: Superfície do cilindro x 2 + y 2 = 2 x limitado pelos planos z = 0 e o cone z = x 2 + y 2 .
Calcule a área das seguintes superfíciesg) Superfície da esfera de raio a centrada na origem limitada por dois planos paralelos e dois meridianos, sabendo-se que o ângulo entre os meridianos é α e a d