Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S   x 2 y z   d S

S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y que está acima do retângulo 0 ,   3 × 0 ,   2 .

Passo 1

Pessoal, aqui podemos usar a seguinte fórmula:

∫ ∫ S   x 2 y z   d S = ∫ ∫ D   x 2 y z 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A = ∫ 0 3 ∫ 0 2 x 2 y ( 1 + 2 x + 3 y ) 1 + 2 2 + 3 2   d y   d x = ∫ 0 3 ∫ 0 2 14 ( x 2 y + 2 x 3 y + 3 x 2 y 2 )   d y   d x

Passo 2

Show! Agora podemos calcular a integral dupla normalmente:

∫ 0 3 ∫ 0 2 14 ( x 2 y + 2 x 3 y + 3 x 2 y 2 )   d y   d x = ∫ 0 3 14 x 2 y 2 2 + x 3 y 2 + x 2 y 3 0 2 d x = ∫ 0 3 14 4 x 3 + 10 x 2   d x = 14 x 4 + 10 x 3 3 0 3 = 14 81 + 90 = 171 14

Resposta

171 14

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