Enunciado

Calcule a integral de linha ∫ C F → ⋅ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → ( t ) .

F → x , y ,   z = y z i ^ + x z j ^ + x y k ^ ,     r → t = t i ^ + t 2 j ^ + t 3 k ^ ,     0 ≤ t ≤ 2

Passo 1

O problema pede para calcularmos a integral de linha sobre a curva dada:

I = ∫ C F → ⋅ d r →

Nesse caso, a curva é dada por r → t = t i ^ + t 2 j ^ + t 3 k ^ . Logo, x = t , y = t 2 e z = t 3 . Assim,

d r → = r → ' t   d t = 1 i ^ + 2 t j ^ + 3 t 2 k ^   d t

F → é reescrito como

F → = t 5 i ^ + t 4 j ^ + t 3 k ^

Portanto,

F → ⋅ d r → = t 5 i ^ + t 4 j ^ + t 3 k ^ ⋅ 1 i ^ + 2 t j ^ + 3 t 2 k ^   d t = t 5 + 2 t 5 + 3 t 5   d t = 6 t 5   d t

Passo 2

Assim, a integral de linha pode ser escrita como

I = ∫ 0 2 6 t 5   d t

Fazendo a integral:

I = t 6 0 2 = 2 6

Portanto,

I = 64

Resposta

I = 64

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