Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∬ ( x + y + z ) d S

S é a parte da metade do cilindro x 2 + z 2 = 1 ,   z ≥ 0 , que está entre os planos y = 0 e y = 2 .

Passo 1

Galera, para calcularmos essa integral de superfície, precisamos trabalhar inicialmente com as equações paramétricas. Sabemos que

f x , y , z = x 2 z + y 2 z

Qualquer superfície S com equação z = g ( x , y ) pode ser considerada uma superfície parametrizada com equações parametrizadas. Neste caso, a integral de superfície se torna:

∬ f x , y , z d S = ∬ f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 d A

Precisamos achar as derivadas parciais de z . Podemos reescrever a equação como z = 1 - x 2 . Assim,

∂ z ∂ x = - 2 x 2 1 - x 2

∂ z ∂ y = 0

Escrevendo a expressão que fica dentro da integral:

f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 = ( x + y + z ) - 2 x 2 1 - x 2 2 + 0 2 + 1

f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 = ( x + y + 1 - x 2 ) - 2 x 2 1 - x 2 2 + 0 + 1

f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 = ( x + y + 1 - x 2 ) 1 + x 2 1 - x 2

f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 = x + y + 1 - x 2 1 - x 2

Passo 2

Portanto,

∬ ( x + y + z ) d S = ∬ x + y + 1 - x 2 1 - x 2 d x d y

A região D é a projeção da superfície no plano x y . Portanto, D é a região - 1,1 × [ 0,2 ] .

∬ f x , y , z d s = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 x 1 - x 2 + y 1 - x 2 + 1 d x d y

∬ f x , y , z d s = ∫ 0 2 - 1 - x 2 + y sin - 1 ⁡ x + x - 1 1 d y

∬ f x , y , z d s = ∫ 0 2 - 1 - 1 2 + y sin - 1 ⁡ 1 + 1 - [ - 1 - - 1 2 + y sin - 1 ⁡ - 1 + ( - 1 ) ] d y

∬ f x , y , z d s = ∫ 0 2 π y + 2   d y

∬ f x , y , z d s = π y 2 2 + 2 y 0 2

∬ f x , y , z d s = 2 π + 4

Resposta

A integral é igual a

∬ f x , y , z d s = 2 π + 4

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