Enunciado

Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.

38. ∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n

Passo 1

Podemos reescrever essa série usando uma propriedade logarítmica:

∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n n = ∑ n = 2 ∞ - 1 n ln ⁡ n n

E pela cara dela agora, podemos dizer que o teste da raiz é bom para resolvermos:

lim n → ∞ ⁡ a n n = L

Se L < 1 , a serie é absolutamente convergente, se L > 1 , é divergente, caso L = 1 , o teste falha.

Na nossa série, o teste fica:

L = lim n → ∞ ⁡ - 1 n ln ⁡ n n n

Como n começa em 2, a função l n é sempre positiva e o próprio n também, podemos então aplicar o módulo e o sinal do - 1 some:

L = lim n → ∞ ⁡ 1 n ln ⁡ n n n

Cortando o expoente com a raiz:

L = lim n → ∞ ⁡ 1 n ln ⁡ n

Passo 2

Aplicando o limite, a função l n tende para infinito e n também, e por isso, a razão tende para zero:

L = 0

Como L < 1 , a nossa série é absolutamente convergente

Resposta

A b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e

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