Enunciado

Calcule a integral tripla.

∭ T x y z   d V , onde T é o tetraedro sólido com vértices ( 0,0 , 0 ) , ( 1,0 , 0 ) , ( 1 , 1,0 ) e ( 1 , 0,1 )

Passo 1

No espaço temos os quatro pontos

Onde 3 deles estão sobre o plano x = 1 .

Precisamos achar o plano que passa por ( 0,0 , 0 ) , ( 1,1 , 0 ) e ( 1,0 , 1 ) . Esse plano dos dará a variação de z que vai de 0 até esse plano. Para isso, temos a equação

a x + b y + c z = d

Quando x = 0 e y = 0

c z = d

E também sabemos que z = 0 do ponto ( 0,0 , 0 )

d = 0

Quando y = 0 e x = 1

a + c z = 0

E sabemos que z = 1 , do ponto ( 1,0 , 1 )

c = - a

Quando x = 1 e z = 0

a + b y = 0

E y = 1 do ponto ( 1,1 , 0 )

b = - a

Então temos a = - b = - c e d = 0 , que na fórmula do plano, podemos colocar quanquer valor, então para a = 1

x - y - z = 0

Isolando z , temos

z = x - y

E podemos colocar a variação de z como 0 ≤ z ≤ x - y .

Passo 2

Agora no plano temos que a área é limitada pelo triangulo de vértices ( 0,0 ) , ( 1,1 ) e ( 1,0 )

O triangulo é limitado por x = 1 , y = 0 e a reta que passa por ( 0,0 ) e ( 1,1 ) que é a reta

y = x

Podemos escrever D como

D = x , y 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ x }

E escrevemos T como sendo

T = x , y , z x , y ∈ D ,   0 ≤ z ≤ x - y }

Passo 3

Resolvendo a integral, temos

∭ T x y z   d V = ∬ D ∫ 0 x - y x y z   d z d A

= ∬ D x y z 2 2 0 x - y d A = ∬ D x y 2 x 2 - 2 x y + y 2 d A

= 1 2 ∬ D x 3 y - 2 x 2 y 2 + x y 3 d A

Agora calculando a integral dupla

1 2 ∬ D x 3 y - 2 x 2 y 2 + x y 3 d A = 1 2 ∫ 0 1 ∫ 0 x x 3 y - 2 x 2 y 2 + x y 3 d y d x

= 1 2 ∫ 0 1 x 3 y 2 2 - 2 x 2 y 3 3 + x y 4 4 0 x d x = 1 2 ∫ 0 1 x 5 2 - 2 x 5 3 + x 5 4 d x

= 1 2 ∫ 0 1 6 - 8 + 3 12 x 5 d x = 1 2 ∫ 0 1 1 12 x 5 d x

= 1 24 x 6 6 0 1 = 1 144

Resposta

= 1 144

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Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.) j )x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4 - 3 x 2 - 3 y 2 .
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)l) ( x - a ) 2 + y 2 ≤ a 2 e x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ⋅ a 2 , z ≥ 0( a0 ) .
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)f) x 2 + 4 ⋅ y 2 + 9 ⋅ z 2 ≤ 1 .
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)b) 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x 2 e 0 ≤ z ≤ x + y 2
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)i) x 2 + y 2 ≤ 1 e x 2 + z 2 ≤ 1 .