Enunciado

Calcule a integral tripla.

∭ E z   d V , onde E é limitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 9 e pelos planos x = 0 , y = 3 x e z = 0 no primeiro octante

Passo 1

A equação y 2 + z 2 = 9 , representa um círculo no plano x = c , onde c é uma constante qualquer, já que a equação não depende de x , então é como de pegássemos a circunferência e esticássemos ela de menos infinito até mais infinito, formando um cilindro de altura infinita com centro sendo o eixo x , ou ( x , 0,0 ) .

Então se isolarmos z

z 2 = 9 - y 2

z = ± 9 - y 2

Podemos pegar a variação como sendo 0 ≤ z ≤ 9 - y 2 , agora analisando as outras equações, x = 0 e y = 3 x e a outra restrição é o máximo valor de y na equação y 2 + z 2 = 9 , que acontece quando z = 0 , onde y = ± 3 , então no plano temos

Podemos botar a variação como sendo 0 ≤ x ≤ 1 e 3 x ≤ y ≤ 3 .

Passo 2

Resolvendo a integral, temos

∭ E z   d V = ∬ D ∫ 0 9 - y 2 z   d z d A

= ∬ D z 2 2 0 9 - y 2 d A = ∬ D 9 - y 2 2 d A

Agora calculando a integral dupla

∬ D 9 - y 2 2 d A = ∫ 0 1 ∫ 3 x 3 9 - y 2 2 d y d x

= ∫ 0 1 9 y 2 - y 3 6 3 x 3 d x = ∫ 0 1 27 2 - 27 6 - 27 x 2 - 27 x 3 6 d x

= ∫ 0 1 27 x 3 6 - 27 x 2 + 27 3 d x = 27 ∫ 0 1 x 3 6 - x 2 + 1 3 d x

= 27 x 4 24 - x 2 4 + x 3 0 1 = 27 1 24 - 1 4 + 1 3

= 27 1 - 6 + 8 24 = 27 3 24

= 27 8

Resposta

= 27 8

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Calculem) ∫ ∫ ∫ B e x 2 ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x e 0 ≤ z ≤ 1 .
Calculee) ∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2 ⋅ x .
Calculeg) ∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2 ⋅ x + 2 ⋅ y - 1
Calculel) ∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 - y 2 ≤ z ≤ 1 - 2 ⋅ y 2 .
Calculen) ∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 ≤ y ≤ x , 0 ≤ z ≤ x + y .